Harmonisches Mittel

In diesem Kapitel schauen wir uns das harmonische Mittel an.

Aufgabe der deskriptiven Statistik ist es, große Datenmengen auf einige wenige Maßzahlen zu reduzieren, um damit komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Eine dieser Maßzahlen ist das harmonische Mittel.

Das harmonische Mittel ist ein Lageparameter.

Unter dem Begriff Lageparameter werden alle statistischen Maßzahlen zusammengefasst, die eine Aussage über die Lage einer Verteilung machen. Da das harmonische Mittel die zentrale Lage einer Verteilung beschreibt, handelt es sich um einen Mittelwert.

Das harmonische Mittel kommt meist dann zum Einsatz, wenn der Mittelwert von Verhältniszahlen gesucht ist. Eine Verhältniszahl ist als Quotient zweier statistischer Größen definiert.

Beispiel für eine Verhältniszahl:
100 km/h (Kilometer pro Stunde)

Das harmonische Mittel dient häufig zur Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit.

Harmonisches Mittel berechnen

Formel für das harmonische Mittel

\[\bar{x}_{\text{harm}} = \frac{n}{\sum\limits_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\]

Um das harmonische Mittel zu berechnen, dividiert man die Anzahl der Beobachtungswerte \(n\) durch die Summe der Kehrwerte der Beobachtungswerte von \(\frac{1}{x_1}\) bis \(\frac{1}{x_n}\).

Geht es um die Berechnung einer Durchschnittsgeschwindigkeit, lautet die Formel:

Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit

\[\bar{x}_{\text{harm}} = \frac{\sum\limits_{i = 1}^{n} g_i }{\sum\limits_{i = 1}^{n}\frac{g_i}{x_i}} = \frac{g_1 + \ldots + g_n}{\frac{g_1}{x_1} + \ldots + \frac{g_n}{x_n}}\]

Dabei gilt:

  • \(g_i\) ist die Länge der Teilstrecke \(i\)
  • \(x_i\) ist die Geschwindigkeit auf der Teilstrecke \(i\)

Beispiel

Ein Auto fährt die ersten 100 km mit 150km/h, weitere 100 km mit 50km/h.

Wenn wir die Aufgabenstellung übersichtlich in eine Tabelle schreiben, erhalten wir:

\(\begin{array}{r|r|r} \hline
\text{Teilstrecke } i & 1 & 2 \\ \hline
\text{Länge } g_i\text{ in km} & 100 & 100 \\ \hline
\text{Geschwindigkeit } x_i \text{ in km/h }& 150 & 50 \\ \hline
\end{array}\)

Gemäß der oben angegebenen Formel berechnet sich das harmonische Mittel zu

\[\bar{x}_{\text{harm}} = \frac{100 + 100}{\frac{100}{150} + \frac{100}{50}} = 75\]

Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt 75 km/h.

Unterschied zum arithmetischen Mittel

Das arithmetische Mittel

\[\bar{x} = \frac{150 + 50}{2} = \frac{200}{2} = 100\]

führt hier zu einem falschen Ergebnis, da die Längen der Teilstrecken unberücksichtigt bleiben.

Lageparameter im Überblick

Im Folgenden findest du einen Überblick über einige populäre Lageparameter.

Arithmetisches Mittel \[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i\]
Geometrisches Mittel

\(\bar{x}_{\text{geom}} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n}\)

Harmonisches Mittel \[\bar{x}_{\text{harm}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}}\]
Median \[\begin{equation*}
\tilde{x} =
\begin{cases}
x_{\frac{n+1}{2}} & \text{für } n \text{ ungerade}\\
\frac{1}{2}\left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}\right) & \text{für } n \text{ gerade}
\end{cases}
\end{equation*}\]
Modus

\(\bar{x}_{\text{d}} = \text{Häufigster Beobachtungswert}\)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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