Hebbare Definitionslücke

In diesem Kapitel besprechen wir, was man unter eine hebbaren Definitionslücke versteht und wie man diese berechnet. Häufig spricht man auch von einer stetig behebbaren Definitionslücke.

Aus dem Einführungsartikel "Gebrochenrationale Funktionen" wissen wir bereits:

Eine Definitionslücke ist eine Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist.

An den Stellen, wo die Funktion nicht definiert ist, gibt es zwei Möglichkeiten

  1. der Graph besitzt eine hebbare Definitionslücke.
  2. der Graph nähert sich immer mehr einer Geraden parallel zur y-Achse an.
    Diese Gerade nennt man senkrechte Asymptote.
    Die Definitionslücke heißt dann Unendlichkeitsstelle oder Pol.

Definition einer hebbaren Definitionslücke

Unter einer hebbaren Definitionslücke \(x_0\) versteht man eine Definitionslücke, die durch Kürzen des Funktionsterms behoben werden kann und dadurch den Definitionsbereich erweitert.

Man sagt: Die Funktion \(f(x)\) ist an der Stelle \(x_0\) stetig fortsetzbar.

Hebbare Definitionslücke berechnen

Bislang haben wir uns nur mit der Theorie beschäftigt. Es ist an der Zeit, dass wir uns das Thema anhand einiger Beispiele etwas genauer anschauen. Dabei gehen wir nach folgendem Schema vor:

Vorgehensweise

  1. Nullstellen des Nenners berechnen (= Definitionslücken bestimmen)
  2. Nullstellen des Zählers berechnen
  3. Prüfen, ob ein Pol vorliegt oder möglicherweise eine hebbare Definitionslücke

    Wenn möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vorliegt:
  4. Zähler und Nenner faktorisieren
  5. Bruch kürzen
  6. Prüfen, ob Pol oder hebbare Definitionslücke vorliegt

zu 1.)

Eine gebrochenrationale Funktion hat genau dann eine Definitionslücke, wenn die rationale Funktion im Nenner eine Nullstelle hat.

zu 3.)

  • Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Nenners, aber nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers, liegt eine Polstelle vor
  • Ist \(x_0\) sowohl eine Nullstelle des Nenners als auch des Zählers, liegt möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor

zu 6.)

  • Ist \(x_0\) auch eine Definitionslücke des gekürzten Funktionsterms, handelt es sich bei \(x_0\) um einen Pol

Beispiel 1

Die folgende Funktion ist auf hebbare Definitionslücken zu überprüfen

\[f(x) = \frac{x+1}{x^2-x-2}\]

1.) Nullstellen des Nenners berechnen

Ansatz: \(x^2-x-2 = 0\)

Mit Hilfe der Mitternachtsformel berechnen wir die Nullstellen:

\(x_1 = -1; \qquad x_2 = 2;\)

2.) Nullstellen des Zählers berechnen

Der Zähler wird für \(x = -1\) gleich Null.

3.) Prüfen, ob ein ein Pol vorliegt oder möglicherweise eine hebbare Definitionslücke

Da eine Nullstelle des Nenners (\(x = -1\)) gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist, liegt möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor.

4.) Zähler und Nenner faktorisieren

Um das anschließende Kürzen zu erleichtern, faktorisieren wir den Term.

\[f(x) = \frac{x+1}{x^2-x-2} = \frac{x+1}{(x+1)(x-2)}\]

5.) Bruch kürzen

\[f(x) = \frac{x+1}{(x+1)(x-2)} = \frac{1}{x-2}\]

6.) Prüfen, ob Pol oder hebbare Definitionslücke vorliegt

Da \(x = -1\) keine Definitionslücke des gekürzten Funktionsterms ist, handelt es sich bei \(x = -1\) um eine hebbare Definitionslücke.

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion \[f(x) = \frac{1}{x-2}\] eingezeichnet.

Die hebbare Definitionslücke bei \(x = -1\) ist als schwarz-weißer Punkt hervorgehoben.

Übrigens besitzt die Funktion bei \(x = 2\) eine Polstelle erster Ordnung, durch die eine senkrechte Asymptote verläuft (rote Linie).

Beispiel 2

Die folgende Funktion ist auf hebbare Definitionslücken zu überprüfen

\[f(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2}\]

1.) Nullstellen des Nenners berechnen

Bei \(x = 1\) liegt eine doppelte Nullstelle vor.

2.) Nullstellen des Zählers berechnen

Bei \(x = 1\) liegt eine einfache Nullstelle vor.

3.) Prüfen, ob ein ein Pol vorliegt oder möglicherweise eine hebbare Definitionslücke

Da eine Nullstelle des Nenners (\(x = 1\)) gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist, liegt möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor.

4.) Zähler und Nenner faktorisieren

Um das anschließende Kürzen zu erleichtern, faktorisieren wir den Term.

\[f(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2} = \frac{x-1}{(x-1)(x-1)}\]

5.) Bruch kürzen

\[f(x) = \frac{\cancel{x-1}}{\cancel{(x-1)}(x-1)} = \frac{1}{x-1}\]

6.) Prüfen, ob Pol oder hebbare Definitionslücke vorliegt

Da \(x = 1\) auch eine Definitionslücke des gekürzten Funktionsterms ist, handelt es sich bei \(x = 1\) um eine Polstelle.

Die Funktion \[f(x) = \frac{1}{(x-1)}\] besitzt bei \(x = 1\) eine Polstelle erster Ordnung, durch die eine senkrechte Asymptote verläuft (rote Linie)

Mehr zu gebrochenrationalen Funktionen

Im Zusammenhang mit gebrochenrationalen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten.

  Kriterium
Zählergrad bestimmen Höchste Potenz im Zähler
Nennergrad bestimmen Höchste Potenz im Nenner
Asymptoten berechnen  
> Senkrechte Asymptote Nullstelle des Nenners (= Definitionslücke)
> Waagrechte Asymptote Zählergrad < Nennergrad
                oder
Zählergrad = Nennergrad
> Schiefe Asymptote Zählergrad = Nennergrad + 1
> Asymptotische Kurve Zählergrad > Nennergrad + 1
Nullstellen berechnen \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) \neq 0\)
Polstelle \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) \neq 0\)
Hebbare Definitionslücke \(f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \quad \rightarrow \quad Q(x_0) = 0 \text{ und } P(x_0) = 0\)
Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion  
Partialbruchzerlegung  

Vergewissere dich, dass du sowohl graphisch als auch rechnerisch die Begriffe "Nullstelle", "Definitionslücke", "Polstelle" und "Hebbare Definitionslücke" voneinander abgrenzen kannst. Auch den Unterschied zwischen einer Polstelle und einer waagrechten Asymptote solltest du dir bewusst machen. All das wird in den obigen Artikeln ausführlich besprochen.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!