Hebbare Definitionslücke
In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine hebbaren Definitionslücke (auch: stetig behebbaren Definitionslücke) ist.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Gebrochenrationale Funktionen
- Polstelle
Einordnung
Für gebrochenrationale Funktionen gilt:
Dort, wo der Nenner gleich Null wird, hat der Graph eine Definitionslücke.
Wir unterscheiden zwei Arten von Definitionslücken:
- Der Graph hat eine hebbare Definitionslücke.
- Der Graph nähert sich einer Gerade, die parallel zur
$y$-Achse verläuft.
Diese Gerade heißt senkrechte Asymptote.
Die Definitionslücke heißt dann Polstelle, Pol oder Unendlichkeitsstelle.
Definition
Eine Definitionslücke, die durch Kürzen des Funktionsterms behoben werden kann und dadurch den Definitionsbereich erweitert, heißt hebbaren Definitionslücke.
Man sagt: Die Funktion $f(x)$ ist an der Stelle $x_0$ stetig fortsetzbar.
Bedingung
Eine gebrochenrationale Funktion
$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} $$
ist möglicherweise an der Stelle $x_0$ stetig fortsetzbar, wenn gilt
$$ P(x_0) = 0 \text{ und } Q(x_0) = 0 $$
Wenn wir den Bruchterm $\frac{P(x)}{Q(x)}$ kürzen und $x_0$ keine Nullstelle der gekürzten Nennerfunktion ist, handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke.
Anleitung
Nullstellen der Nennerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
Gleichung lösen
Nullstellen der Nennerfunktion in Zählerfunktion einsetzen
Ergebnis interpretieren
Wenn möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vorliegt:
Zähler und Nenner faktorisieren
Bruch kürzen
Nullstellen der ungekürzten Nennerfunktion in gekürzte Nennerfunktion einsetzen
Ergebnis interpretieren
zu 1)
Wir bestimmen die Definitionslücken.
zu 3)
- Ist
$x_0$eine Nullstelle des Nenners, aber nicht gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers, liegt eine Polstelle vor. - Ist
$x_0$sowohl eine Nullstelle des Nenners als auch des Zählers, liegt möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor.
zu 7)
Wenn $x_0$ keine Definitionslücke des gekürzten Funktionsterms ist, handelt es sich bei $x_0$ um eine hebbare Definitionslücke – andernfalls handelt es sich um eine Polstelle.
Beispiele
Überprüfe, ob die gebrochenrationale Funktion
$$ f(x) = \frac{x+1}{x^2-x-2} $$
hebbare Definitionslücken hat.
Nullstellen der Nennerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ x^2 - x - 2 = 0 $$
Gleichung lösen
Es handelt sich um eine quadratische Gleichung, die wir z. B. mithilfe der Mitternachtsformel lösen können.
Die Lösungen sind
$$ x_1 = -1 $$
$$ x_2 = 2 $$
Nullstellen der Nennerfunktion in Zählerfunktion einsetzen
$$ \begin{align*} P(-1) &= -1 + 1 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} P(2) &= 2 + 1 \\[5px] &= 3 \neq 0 \end{align*} $$
Ergebnis interpretieren
Da eine Nullstelle des Nenners ($x = -1$) gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist, liegt dort möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor.
Zähler und Nenner faktorisieren
$$ \begin{align*} f(x) &= \frac{x+1}{x^2-x-2} \\[5px] &= \frac{x+1}{(x+1)(x-2)} \end{align*} $$
Bruch kürzen
$$ \begin{align*} f(x) &= \frac{\cancel{x+1}}{\cancel{(x+1)}(x-2)} \\[5px] &= \frac{1}{x-2} \end{align*} $$
Nullstellen der ungekürzten Nennerfunktion in gekürzte Nennerfunktion einsetzen
$$ \begin{align*} P(-1) &= -1 - 2 \\[5px] &= -3 \neq 0 \end{align*} $$
Ergebnis interpretieren
Da $x = -1$ keine Definitionslücke des gekürzten Funktionsterms ist, handelt es sich bei $x = -1$ um eine hebbare Definitionslücke.
Graphische Darstellung
Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion
$$ f(x) = \frac{1}{x-2} $$
eingezeichnet.
Die hebbare Definitionslücke bei $x = -1$ ist als schwarz-weißer Punkt hervorgehoben.
Übrigens besitzt die Funktion bei $x = 2$ eine Polstelle 1. Ordnung, durch die eine senkrechte Asymptote verläuft (rote Linie).
Überprüfe, ob die gebrochenrationale Funktion
$$ f(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2} $$
hebbare Definitionslücken hat.
Nullstellen der Nennerfunktion berechnen
Funktionsgleichung gleich Null setzen
$$ (x-1)^2 = 0 $$
Gleichung lösen
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist bei $x = 1$ eine doppelte Nullstelle.
Nullstellen der Nennerfunktion in Zählerfunktion einsetzen
$$ \begin{align*} P(1) &= 1 - 1 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$
Ergebnis interpretieren
Da die Nullstelle des Nenners ($x = 1$) gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist, liegt möglicherweise eine hebbare Definitionslücke vor.
Zähler und Nenner faktorisieren
$$ \begin{align*} f(x) &= \frac{x-1}{(x-1)^2} \\[5px] &= \frac{x-1}{(x-1)(x-1)} \end{align*} $$
Bruch kürzen
$$ \begin{align*} f(x) &= \frac{\cancel{x-1}}{\cancel{(x-1)}(x-1)} \\[5px] &= \frac{1}{x-1} \end{align*} $$
Nullstellen der ungekürzten Nennerfunktion in gekürzte Nennerfunktion einsetzen
$$ \begin{align*} P(1) &= 1 - 1 \\[5px] &= 0 \end{align*} $$
Ergebnis interpretieren
Da $x = 1$ auch eine Definitionslücke des gekürzten Funktionsterms ist, handelt es sich bei $x = 1$ um eine Polstelle.
Graphische Darstellung
