Höhensatz

In diesem Kapitel besprechen wir den Höhensatz.

Wiederholung wichtiger Begriffe im rechtwinkligen Dreieck

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkliges Dreiecks. Sie liegt stets gegenüber dem rechten Winkel.

Als Kathete bezeichnet man jede der beiden kürzeren Seiten des rechtwinkligen Dreiecks. Diese beiden Seiten bilden den rechten Winkel.

Die Ecken des Dreiecks werden mit Großbuchstaben (A, B, C) gegen den Uhrzeigersinn beschriftet.

Die Seiten des Dreiecks werden mit Kleinbuchstaben (a, b, c) beschriftet. Dabei liegt die Seite a gegenüber dem Eckpunkt A...

Die Winkel des Dreiecks werden mit griechischen Buchstaben beschriftet. Dabei befindet sich der Winkel \(\alpha\) beim Eckpunkt A...

Die Höhe \(h\) des rechtwinkligen Dreiecks teilt die Hypotenuse \(c\) in zwei Hypotenusenabschnitte.

Den Hypotenusenabschnitt unterhalb der Kathete \(a\) bezeichnen wir mit \(p\).

Den Hypotenusenabschnitt unterhalb der Kathete \(b\) bezeichnen wir mit \(q\).

Es gilt: \(c = p + q\).

Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck
das Quadrat über der Höhe
genauso groß ist wie
das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

Mathematisch formuliert: \(h^2 = p \cdot q\)

Wir wissen bereits, dass es sich bei \(p\) und \(q\) um die Hypotenusenabschnitte und bei \(h\) um die Höhe handelt. Doch wie kann man sich \(h^2\), bzw. \(p \cdot q\) vorstellen?

In der 5. oder 6. Klasse hast du dich wahrscheinlich zum ersten Mal mit Flächen auseinandergesetzt. Schauen wir uns dazu ein kleines Beispiel an.

Von einer Länge zu einer Fläche

Wenn du auf einem karierten Blatt Papier ein Quadrat mit der Seitenlänge 4 cm zeichnest, dann ist die umrandete Fläche 16 cm² groß.

Rechnerisch:
\(4\text{ cm} \cdot 4\text{ cm} = 16\text{ cm}^2\)

Mit diesem Wissen aus der Unterstufe können wir uns \(h^2\) und \(p \cdot q\) schon besser vorstellen:

  • \(h^2\) ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(h\).
  • \(p \cdot q\) ist ein Rechteck.

In der folgenden Abbildung versuchen wir den Sachverhalt noch einmal graphisch darzustellen:

Laut dem Höhensatz gilt:

grüne Fläche = blaue Fläche
\({\color{green}h^2\qquad\qquad} = {\color{blue}p \cdot q}\)

Der Höhensatz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über der Höhe \((h^2\)) genauso groß ist wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten (\(p \cdot q\)).

Wenn du bis hierhin alles verstanden hast, dann denkst du dir wahrscheinlich gerade: "Rechtecke, Quadrate, Dreiecke...alles schön und gut, aber was bringt mir der Höhensatz?".

Wie du im nächsten Abschnitt sehen wirst, gibt es zahlreiche Fragestellungen, bei denen sich der Höhensatz als äußerst nützlich erweist.

Höhensatz: Anwendungen

Im Folgenden besprechen wir einige Aufgaben, die im Zusammenhang mit dem Höhensatz immer wieder abgefragt werden.

Höhe gesucht

Gegeben ist sind die beiden Hypotenusenabschnitte \(p\) und \(q\):

\(p = 3\)

\(q = 2\)

Gesucht ist die Länge der Höhe \(h\).

Laut dem Höhensatz gilt: \(h^2 = p \cdot q\).

Setzen wir \(p = 3\) und \(q = 2\) in die Formel ein, so halten wir:

\(h^2 = 3 \cdot 2\)

\(h^2 = 6\)

\(h = \sqrt{6} \approx 2,45\)

Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck?

Mit Hilfe des Höhensatz können wir überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist, ohne dabei auch nur einen einzigen Winkel zu messen.

Beispiel 1

Von einem Dreieck kennen wir die Höhe sowie die beiden Hypotenusenabschnitte:

\(h = 5\)

\(p = 4\)

\(q = 2\)

Wir sollen überprüfen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Überlegung: Wenn das Dreieck rechtwinklig wäre, dann müsste der Höhensatz gelten. Wir setzen also die gegebenen Werte in die Formel ein und betrachten dann, was dabei herauskommt.

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt:

\(h^2 = p \cdot q\)

\(5^2 = 4 \cdot 2\)

\(25 = 8\)

Da der Höhensatz zu einem falschen Ergebnis führt, ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Beispiel 2

Von einem Dreieck kennen wir die Höhe sowie die beiden Hypotenusenabschnitte:

\(h = 2,4\)

\(p = 3,2\)

\(q = 1,8\)

Wir sollen überprüfen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Überlegung: Wenn das Dreieck rechtwinklig wäre, dann müsste der Höhensatz gelten. Wir setzen also die gegebenen Werte in die Formel ein und betrachten dann, was dabei herauskommt.

Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt:

\(h^2 = p \cdot q\)

\(2,4^2 = 3,2 \cdot 1,8\)

\(5,76 = 5,76\)

Da der Höhensatz zu einem wahren Ergebnis führt, ist das Dreieck rechtwinklig.

Mehr zum Thema Dreiecke

Wenn du dich ausführlicher mit Dreiecken beschäftigen möchtest, so empfehlen wir dir, die folgenden Kapitel nacheinander durchzuarbeiten.

Dreiecke (Hauptkapitel)  
Einteilung nach Seitenlängen  
Unregelmäßiges Dreieck  
Gleichschenkliges Dreieck  
Gleichseitiges Dreieck  
Einteilung nach Winkeln  
Spitzwinkliges Dreieck \(\alpha, \beta, \gamma < 90°\)
Rechtwinkliges Dreieck \(\gamma = 90°\)
Stumpfwinkliges Dreieck \(\gamma > 90°\)
Satzgruppe des Pythagoras  
Satz des Pythagoras \(a^2 + b^2 = c^2\)
Kathetensatz \(a^2 = c \cdot p\)

\(b^2 = c \cdot q\)

Höhensatz \(h^2 = p \cdot q\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!