Horner-Schema

Berechne

$$ (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4) : (x - 1) = \; ? $$

mithilfe des Horner-Schemas.

Tabelle aufstellen

$$ ({\colorbox{yellow}{$2$}}x^3 + {\colorbox{yellow}{$4$}}x^2 - {\colorbox{yellow}{$2$}}x - {\colorbox{yellow}{$4$}}) : (x {\colorbox{red}{$- 1$}}) = \; ? $$

Wir übertragen die Polynomkoeffizienten – beginnend mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz – in die 1. Zeile einer Tabelle mit drei Zeilen, wobei wir die 1. Spalte sowie die 2. und 3. Zeile zunächst frei lassen:

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} & {\colorbox{yellow}{$2$}} & {\colorbox{yellow}{$4$}} & {\colorbox{yellow}{$-2$}} & {\colorbox{yellow}{$-4$}} \\ \hline \phantom{x_1 = 1} && & & \\ \hline & & & & \end{array} $$

In der 1. Spalte auf Höhe der 2. Zeile schreiben wir die Zahl, die in der Klammer hinter dem Geteiltzeichen steht, wobei wir das Vorzeichen umdrehen und $x_1 =$ davor schreiben.

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} & 2 & 4 & -2 & -4 \\ \hline x_1 = {\colorbox{red}{$1$}} && & & \\ \hline & & & & \end{array} $$

Horner-Schema anwenden

Übertrag

Zunächst übertragen wir den 1. Koeffizienten der 1. Zeile in die 3. Zeile.

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} & \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$} & 4 & -2 & -4 \\ \hline x_1 = 1 & & & & \\ \hline & \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$} & & & \end{array} $$

Multiplikation

Wir multiplizieren die Zahl, die in der 1. Spalte steht, mit dem Koeffizienten, den wir gerade in die 3. Zeile geschrieben haben:

$$ 1 \cdot 2 = 2 $$

Das Ergebnis schreiben wir in das Feld unterhalb des 2. Koeffizienten der 1. Zeile:

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} & 2 & 4 & -2 & -4 \\ \hline x_1 = {\colorbox{yellow}{$1$}} && {\colorbox{orange}{$2$}} & & \\ \hline & {\colorbox{yellow}{$2$}} & & & \end{array} $$

Addition

Wir addieren das Ergebnis der Multiplikation mit der Zahl darüber

$$ 4 + 2 = 6 $$

und schreiben das Ergebnis darunter:

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} & 2 & {\colorbox{orange}{$4$}} & -2 & -4 \\ \hline x_1 = 1 && {\colorbox{orange}{$2$}} & & \\ \hline & 2 & \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}6}$} & & \end{array} $$

Jetzt wiederholen wir den Multiplikationsschritt und den Additionsschritt bis zum Ende der Tabelle.

Multiplikation: $1 \cdot 6 = 6$

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} & 2 & 4 & -2 & -4 \\ \hline x_1 = {\colorbox{yellow}{$1$}} && 2 & {\colorbox{orange}{$6$}} & \\ \hline & 2 & {\colorbox{yellow}{$6$}} & & \end{array} $$

Addition: $-2 + 6 = 4$

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} & 2 & 4 & {\colorbox{orange}{$-2$}} & -4 \\ \hline x_1 = 1 && 2 & {\colorbox{orange}{$6$}} & \\ \hline & 2 & 6 & \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}4}$} & \end{array} $$

Multiplikation: $1 \cdot 4 = 4$

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} & 2 & 4 & -2 & -4 \\ \hline x_1 = {\colorbox{yellow}{$1$}} && 2 & 6 & {\colorbox{orange}{$4$}} \\ \hline & 2 & 6 & {\colorbox{yellow}{$4$}} & \end{array} $$

Addition: $-4 + 4 = 0$

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} & 2 & 4 & -2 & {\colorbox{orange}{$-4$}} \\ \hline x_1 = 1 && 2 & 6 & {\colorbox{orange}{$4$}} \\ \hline & 2 & 6 & 4 & \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}0}$} \end{array} $$

Ergebnis aufschreiben

Das Ergebnis des Horner-Schemas (entspricht dem Ergebnis der Polynomdivision) können wir in der 3. Zeile ablesen:

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c} & 2 & 4 & -2 & -4 \\ \hline x_1 = 1 && 2 & 6 & 4 \\ \hline & \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$} & \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}6}$} & \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}4}$} & \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}0}$} \end{array} $$

Dabei ist die letzte Zahl der Rest der Division. In diesem Fall ist der Rest gleich Null und kann entsprechend weggelassen werden:

$$ \begin{align*} (2x^3 + 4x^2 - 2x - 4):(x-1) &= \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}2}$}x^2 + \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}6}$}x + \colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}4}$} + \frac{\colorbox{RoyalBlue}{${\color{white}0}$}}{x-1} \\[5px] &= 2x^2 + 6x + 4 \end{align*} $$