Integrationsregeln

In diesem Kapitel besprechen wir die Integrationsregeln. Dabei handelt es sich um Regeln, die beim Integrieren einer Funktion beachtet werden müssen.

Wir haben bereits gelernt, dass es in der Integralrechnung darum geht, die Stammfunktion \(F(x)\) einer gegebenen Funktion \(f(x)\) zu berechnen. In diesem Zusammenhang sind folgende Regeln von Bedeutung:

Potenzregel

Die Potenzregel hilft uns bei der Suche der Stammfunktion einer Potenzfunktion.

Potenzregel

\(\int \! x^n \, \mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C\)

Beispiele

\(\int \! x^3 \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3+1}x^{3+1} + C = \frac{1}{4}x^{4} + C\)

\(\int \! x^4 \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4+1}x^{4+1} + C = \frac{1}{5}x^{5} + C\)

Faktorregel

Ein konstanter Faktor im Integranden kann vor das Integralzeichen gezogen werden.

Faktorregel

\(\int \! c \cdot f(x) \, \mathrm{d}x = c \cdot \int \! f(x) \, \mathrm{d}x\)

Mit Hilfe der Faktorregel können wir einen konstanten Faktor vor das Integralzeichen ziehen und auf diese Weise die Berechnung der Stammfunktion vereinfachen.

Beispiele

\(\int \! 2 \cos(x) \, \mathrm{d}x = 2 \int \! \cos(x) \, \mathrm{d}x = 2 \cdot \sin(x) + C\)

\(\int \! 4x \, \mathrm{d}x = 4 \int \! x \, \mathrm{d}x = 4 \cdot \frac{1}{2}x^2 + C = 2x^2 + C\)

Summenregel

Das unbestimmte Integral einer Summe ist gleich der Summe der unbestimmten Integrale.

Summenregel

\(\int \! \left(f(x)+g(x)\right) \, \mathrm{d}x = \int \! f(x) \, \mathrm{d}x + \int \! g(x) \, \mathrm{d}x\)

Mit Hilfe der Summenregel können wir Terme "auseinanderziehen" und auf diese Weise die Berechnung der Stammfunktion vereinfachen.

Beispiele

\(\int \! \left(x^3 + x^4\right) \, \mathrm{d}x = \int \! x^3 \, \mathrm{d}x + \int \! x^4 \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{5}x^{5} + C\)

\(\int \! \left(3x^2 + 4x^3\right) \, \mathrm{d}x = \int \! 3x^2 \, \mathrm{d}x + \int \! 4x^3 \, \mathrm{d}x = x^3 + x^4 + C\)

Differenzregel

Das unbestimmte Integral einer Differenz ist gleich der Differenz der unbestimmten Integrale.

Differenzregel

\(\int \! \left(f(x)-g(x)\right) \, \mathrm{d}x = \int \! f(x) \, \mathrm{d}x - \int \! g(x) \, \mathrm{d}x\)

Mit Hilfe der Differenzregel können wir Terme "auseinanderziehen" und auf diese Weise die Berechnung der Stammfunktion vereinfachen.

Beispiele

\(\int \! \left(x^3 - x^4\right) \, \mathrm{d}x = \int \! x^3 \, \mathrm{d}x - \int \! x^4 \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{5}x^{5} + C\)

\(\int \! \left(3x^2 - 4x^3\right) \, \mathrm{d}x = \int \! 3x^2 \, \mathrm{d}x - \int \! 4x^3 \, \mathrm{d}x = x^3 - x^4 + C\)

Partielle Integration

\(\int \! f'(x) g(x) \, \mathrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \mathrm{d}x\)

Diese Integrationsregel wird in einem eigenen Artikel ausführlich besprochen:
> Partielle Integration

Integration durch Substitution

\(\int \! f(x) \, \mathrm{d}x = \int \! f(\varphi(u)) \cdot \varphi'(u) \, \mathrm{d}u\)

Diese Integrationsregel wird in einem eigenen Artikel ausführlich besprochen:
> Integration durch Substitution

Besondere Regeln

Ist der Integrand ein Bruch, in dem der Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist das unbestimmte Integral gleich dem natürlichen Logarithmus des Nenners.
\(\int \! \frac{f'(x)}{f(x)} \, \mathrm{d}x = \ln f(x) + C\)

Das Integrieren von Funktionen, in denen sowohl im Zähler als auch im Nenner ein \(x\) vorkommt, ist meistens sehr schwierig. Liegt jedoch der hier erwähnte Spezialfall vor (Zähler ist die Ableitung des Nenners), so hilft uns diese Regel dabei, ohne große Rechenarbeit die Stammfunktion zu finden. Wenn du also auf eine Funktion stößt, die sowohl im Zähler als auch im Nenner ein \(x\) hat, so lohnt es sich zu überprüfen, ob der Zähler eine Ableitung des Nenners ist.

Beispiel

\(\int \! \frac{3x^2 - 4x^3}{x^3 - x^4} \, \mathrm{d}x = \ln(x^3 - x^4) + C\)

Damit haben wir die wesentlichen Integrationsregeln gelernt.

Integrationsregeln vs. Ableitungsregeln

Es ist wichtig, sich immer wieder klarzumachen, wie eng die Differential- und die Integralrechnung zusammenhängen. In der Differentialrechnung geht es darum, Funktion abzuleiten, wohingegen man in der Integralrechnung Funktionen aufleitet (= integriert). Die gleichen Regeln, die wir in diesem Kapitel gelernt haben, gibt es dementsprechend auch beim Ableiten (nur eben umgekehrt, schließlich will man ja ab- und nicht aufleiten):

Potenzregel

\(\int \! x^n \, \mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C\)

Potenzregel

\(f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)

Faktorregel

\(\int \! c \cdot f(x) \, \mathrm{d}x = c \cdot \int \! f(x) \, \mathrm{d}x\)

Faktorregel

\(f(x) = c \cdot g(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = c \cdot g'(x)\)

Summenregel

\(\int \! \left(f(x)+g(x)\right) \, \mathrm{d}x = \int \! f(x) \, \mathrm{d}x + \int \! g(x) \, \mathrm{d}x\)

Summenregel

\(f(x) = g(x) + h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) + h'(x)\)

Differenzregel

\(\int \! \left(f(x)-g(x)\right) \, \mathrm{d}x = \int \! f(x) \, \mathrm{d}x - \int \! g(x) \, \mathrm{d}x\)

Differenzregel

\(f(x) = g(x) - h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) - h'(x)\)

Partielle Integration

\(\int \! f'(x) g(x) \, \mathrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \mathrm{d}x\)

Produktregel

\(f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\)

Substitutionsregel

\(\int \! f(x) \, \mathrm{d}x = \int \! f(\varphi(u)) \cdot \varphi'(u) \, \mathrm{d}u\)

Kettenregel

\(f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

Im nächsten Kapitel schauen wir uns an, was es mit den bestimmten Integralen auf sich hat.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!