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Intervalle

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Intervalle sind.

Erforderliches Vorwissen

Definition 

Ein Intervall ist eine abkürzende Schreibweise für eine Teilmenge der Zahlengerade.

Beispiel 1 

Gesucht ist eine Zahl $x$, für die gilt: $4 \leq x \leq 7$.
Statt $4 \leq x \leq 7$ kann man abkürzend schreiben: $x \in [4; 7]$.

Das Intervall $[4; 7]$ beschreibt die Menge aller Zahlen von $4$ bis $7$.

Die beiden nach innen zeigenden eckigen Klammern bedeuten, dass die beiden Intervallgrenzen zum Intervall gehören.

Zum Intervall gehören also z. B.
$4$; $4{,}01$; $4{,}5$; $5{,}89$; $6{,}2$ und $7$.

Nicht zum Intervall gehören z. B.
$-3$; $0$; $1{,}3$; $3{,}99$; $7{,}01$ und $12$.

Abb. 1 

Intervalllänge 

Die Differenz zwischen der oberen und der unteren Grenze des Intervalls heißt Intervalllänge.

Beispiel 2 

Das Intervall $[4; 7]$ hat eine Länge von $7 - 4 = 3$.

Endliche Intervalle 

Intervalle mit endlicher Länge heißen endliche Intervalle, beschränkte Intervalle oder eigentliche Intervalle.

Bei endlichen Intervallen sind beide Intervallgrenzen reelle Zahlen.

Das Intervall ${\color{green}[4}; {\color{green}7]}$ beschreibt die Menge aller Zahlen von (eingeschlossen) 4 bis (eingeschlossen) 7.

Abb. 2 

Die Intervallschreibweise richtet sich danach, ob die Intervallgrenzen zum Intervall gehören.

Das Intervall ${\color{red}]4}; {\color{red}7[}$ beschreibt die Menge aller Zahlen von (ausgeschlossen) $4$ bis (ausgeschlossen) $7$.

Abb. 3 

Das Intervall ${\color{green}[4}; {\color{red}7[}$ beschreibt die Menge aller Zahlen von (eingeschlossen) $4$ bis (ausgeschlossen) $7$.

Abb. 4 

Das Intervall ${\color{red}]4}; {\color{green}7]}$ beschreibt die Menge aller Zahlen von (ausgeschlossen) $4$ bis (eingeschlossen) $7$.

Abb. 5 

Es gibt zwei verschiedene Intervallschreibweisen:

Schreibweise I
Grenzen, die zum Intervall gehören: eckige Klammern
Grenzen, die nicht zum Intervall gehören: gewendete eckige Klammern

Schreibweise II
Grenzen, die zum Intervall gehören: eckige Klammern
Grenzen, die nicht zum Intervall gehören: runde Klammern

Die folgende Tabelle bietet einen Überblick über alle endlichen Intervalle.

Schreibweise ISchreibweise IIMengenschreibweiseTyp
${\color{green}[a}, {\color{green}b]}$${\color{green}[a}, {\color{green}b]}$$\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x {\color{green}\:\leq b}\}$geschlossen
${\color{red}]a}, {\color{red}b[}$${\color{red}(a}, {\color{red}b)}$$\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x {\color{red}\:< b}\}$offen
${\color{green}[a}, {\color{red}b[}$${\color{green}[a}, {\color{red}b)}$$\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x {\color{red}\:< b}\}$halboffen / rechtsoffen
${\color{red}]a}, {\color{green}b]}$${\color{red}(a}, {\color{green}b]}$$\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x {\color{green}\:\leq b}\}$halboffen / linksoffen

Beachte:
Endliche Intervalle heißen endlich, weil sie eine endliche Länge ($b - a$) haben.
Zwischen den Intervallgrenzen $a$ und $b$ liegen dennoch unendlich viele reelle Zahlen!

Unendliche Intervalle 

Intervalle mit unendlicher Länge heißen unendliche Intervalle, unbeschränkte Intervalle oder uneigentliche Intervalle.

Bei unendlichen Intervallen ist eine Intervallgrenze entweder $-\infty$ oder $+\infty$.

Das Intervall ${\color{green}[4}; \infty[$ beschreibt die Menge aller Zahlen von (eingeschlossen) $4$ bis unendlich*.

Abb. 6 

Das Intervall ${\color{red}]4}; \infty[$ beschreibt die Menge aller Zahlen von (ausgeschlossen) $4$ bis unendlich*.

Abb. 7 

Das Intervall $]-\infty; {\color{green}7]}$ beschreibt die Menge aller Zahlen von minus unendlich* bis (eingeschlossen) $7$.

Abb. 8 

Das Intervall $]-\infty; {\color{red}7[}$ beschreibt die Menge aller Zahlen von minus unendlich* bis (ausgeschlossen) $7$.

Abb. 9 

*

$\infty$ (unendlich) und $-\infty$ (minus unendlich) gehören selbst nie zum Intervall.

Die folgende Tabelle bietet einen Überblick über alle unendlichen Intervalle.

Schreibweise ISchreibweise IIMengenschreibweiseTyp
${\color{green}[a}, \infty[$${\color{green}[a}, \infty)$$\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x\}$rechtsseitig unendlich
geschlossen
${\color{red}]a}, \infty[$${\color{red}(a}, \infty)$$\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x\}$rechtsseitig unendlich
offen
$]-\infty, {\color{green}b]}$$(-\infty, {\color{green}b]}$$\{x \:|\: x {\color{green}\:\leq b}\}$linksseitig unendlich
geschlossen
$]-\infty, {\color{red}b[}$$(-\infty, {\color{red}b)}$$\{x \:|\: x {\color{red}\:< b}\}$linksseitig unendlich
offen
$]-\infty, \infty[$$(-\infty, \infty)$$\mathbb{R}$beidseitig unendlich
offen und geschlossen

Bei dem letzten Intervall handelt es sich um einen Spezialfall:
Das Intervall $]-\infty, \infty[$ beschreibt die ganze Zahlengerade, also ganz $\mathbb{R}$.

Verwechslungsgefahr 

Intervall vs. Menge 

$[a, b]$ beschreibt ein Intervall, d. h. den ganzen Zahlenbereich von $a$ bis $b$ (beide Grenzen eingeschlossen).

Beispiel 3 

Das Lösungsintervall der quadratischen Ungleichung $x^2 - 4 \leq 0$ ist $-2 \leq x \leq 2$. $$ \Rightarrow \mathbb{L} = [-2; 2] $$

$\{a, b\}$ beschreibt eine Menge, die nur die beiden Zahlen $a$ und $b$ enthält, nicht aber die Zahlen dazwischen!

Beispiel 4 

Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung $x^2 - 4 = 0$ ist $x_1 = -2$ und $x_2 = 2$. $$ \Rightarrow \mathbb{L} = \{-2; 2\} $$

Intervall vs. Tupel 

$(a, b)$ kann ein Intervall (Schreibweise II) oder ein Tupel sein.

Die jeweilige Bedeutung ergibt sich aus dem Kontext der Aufgabenstellung.

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