Intervalle

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Intervalle sind.

Ein Intervall ist eine abkürzende Schreibweise,
um eine Teilmenge der Zahlengeraden auszudrücken.

Beispiel

Gesucht ist eine Zahl \(x\), für die gilt: \(4 \leq x \leq 7\).
Statt \(4 \leq x \leq 7\) kann man abkürzend schreiben: \([4;7]\).

Das Intervall \([4;7]\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von 4 bis 7.

Die eckigen Klammern zeigen an, dass die beiden Intervallgrenzen zum Intervall gehören.

Zum Intervall gehören also z. B.:
\(4\);  \(4,01\);  \(4,5\);  \(5,89\);  \(6,2\) und \(7\).

Nicht zum Intervall gehören z. B.:
\(-3\);  \(0\);  \(1,3\);  \(3,99\);  \(7,01\) und \(12\).

Im Folgenden unterscheiden wir zwischen endlichen und unendlichen Intervallen:
Endliche Intervalle haben eine endliche Länge. Als Länge des Intervalls bezeichnet man
die Differenz zwischen der oberen und der unteren Grenze des Intervalls.

Beispiel

Das Intervall \([4;7]\) hat eine Länge von (\(7 - 4 =\)) \(3\).

Im Gegensatz dazu sind unendliche Intervalle unendlich lang.
Bei unendlichen Intervallen ist eine Intervallgrenze entweder \(-\infty\) oder \(+\infty\).

Endliche Intervalle

[Alternative Bezeichnungen: Beschränkte Intervalle, Eigentliche Intervalle]

Das Intervall \({\color{green}[4};{\color{green}7]}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (eingeschlossen) 4
bis (eingeschlossen) 7.

Vorsicht Verwechslungsgefahr!

  • \([a,b]\) beschreibt ein Intervall,
    d. h. den ganzen Zahlenbereich von \(a\) bis \(b\) (beide Grenzen eingeschlossen).
  • \(\{a,b\}\) beschreibt eine Menge,
    die nur die beiden Zahlen \(a\) und \(b\) enthält, nicht aber die Zahlen dazwischen!

Beispiel

Das Lösungsintervall der quadratischen Ungleichung \(x^2 - 4 \leq 0\) ist \(-2 \leq x \leq 2\).
\(\Rightarrow \mathbb{L} = [-2;2]\)

Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung \(x^2 - 4 = 0\) ist \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\).
\(\Rightarrow \mathbb{L} = \{-2;2\}\)

Die Intervallschreibweise richtet sich danach, ob die Intervallgrenzen zum Intervall gehören.

Das Intervall \({\color{red}]4};{\color{red}7[}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (ausgeschlossen) 4
bis (ausgeschlossen) 7.

Das Intervall \({\color{green}[4};{\color{red}7[}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (eingeschlossen) 4
bis (ausgeschlossen) 7.

Das Intervall \({\color{red}]4};{\color{green}7]}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (ausgeschlossen) 4
bis (eingeschlossen) 7.

Es gibt zwei verschiedene Intervallschreibweisen.
Dabei werden die Intervallgrenzen folgendermaßen gekennzeichnet:

  1. Grenzen, die zum Intervall gehören: eckige Klammern
    Grenzen, die nicht zum Intervall gehören: gewendete eckige Klammern

  2. Grenzen, die zum Intervall gehören: eckige Klammern
    Grenzen, die nicht zum Intervall gehören: runde Klammern

Die folgende Tabelle bietet einen Überblick über alle endlichen Intervalle.

Schreibweise (I) Schreibweise (II) Mengenschreibweise Typ
\({\color{green}[a},{\color{green}b]}\) \({\color{green}[a},{\color{green}b]}\) \(\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x {\color{green}\:\leq b}\}\) geschlossen
\({\color{red}]a},{\color{red}b[}\) \({\color{red}(a},{\color{red}b)}\) \(\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x {\color{red}\:< b}\}\) offen
\({\color{green}[a},{\color{red}b[}\) \({\color{green}[a},{\color{red}b)}\) \(\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x {\color{red}\:< b}\}\) halboffen / rechtsoffen
\({\color{red}]a},{\color{green}b]}\) \({\color{red}(a},{\color{green}b]}\) \(\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x {\color{green}\:\leq b}\}\) halboffen / linksoffen

Merke

Endliche Intervalle heißen endlich, weil sie eine endliche Länge (\(b - a\)) haben.
Zwischen den Intervallgrenzen \(a\) und \(b\) liegen dennoch unendlich viele reelle Zahlen!

Unendliche Intervalle

[Alternative Bezeichnungen: Unbeschränkte Intervalle, Uneigentliche Intervalle]

Das Intervall \({\color{green}[4};\infty[\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (eingeschlossen) 4
bis unendlich*.

Das Intervall \({\color{red}]4};\infty[\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von (ausgeschlossen) 4
bis unendlich*.

Das Intervall \(]-\infty;{\color{green}7]}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von minus unendlich*
bis (eingeschlossen) 7.

Das Intervall \(]-\infty;{\color{red}7[}\)
beschreibt die Menge aller Zahlen
von minus unendlich*
bis (ausgeschlossen) 7.

* \(\infty\) ("unendlich") und \(-\infty\) ("minus unendlich") gehören selbst nie zum Intervall.

Die folgende Tabelle bietet einen Überblick über alle unendlichen Intervalle.

Schreibweise (I) Schreibweise (II) Mengenschreibweise Typ
\({\color{green}[a},\infty[\) \({\color{green}[a},\infty)\) \(\{x \:|\: {\color{green}a \leq\:} x\}\) rechtsseitig unendlich
geschlossen
\({\color{red}]a},\infty[\) \({\color{red}(a},\infty)\) \(\{x \:|\: {\color{red}a <\:} x\}\) rechtsseitig unendlich
offen
\(]-\infty,{\color{green}b]}\) \((-\infty,{\color{green}b]}\) \(\{x \:|\: x {\color{green}\:\leq b}\}\) linksseitig unendlich
geschlossen
\(]-\infty,{\color{red}b[}\) \((-\infty,{\color{red}b)}\) \(\{x \:|\: x {\color{red}\:< b}\}\) linksseitig unendlich
offen
\(]-\infty,\infty[\) \((-\infty,\infty)\) \(\mathbb{R}\) beidseitig unendlich
offen und geschlossen

Bei dem letzten Intervall handelt es sich um einen Spezialfall:
Das Intervall \(]-\infty,\infty[\) beschreibt die ganze Zahlengerade, also ganz \(\mathbb{R}\).

Mehr zum Thema Ungleichungen

Im Zusammenhang mit Ungleichungen gibt es einige Aufgabenstellungen, die immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, auch folgende Artikel durchzulesen.

  Beispiel
Lineare Ungleichungen
(mit einer Variablen)
\(10x - 8 \leq 3x + 4\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit einer Variablen)
\[\begin{align*}
2x - 4 &< 6 \\
3x + 5 &> 2
\end{align*}\]
Lineare Ungleichungen
(mit zwei Variablen)
\(5x - 3y > 10\)
Lineare Ungleichungssysteme
(mit zwei Variablen)
\[\begin{align*}
2x + y &\leq 12 \\
2x + 3y &\leq 18
\end{align*}\]
Quadratische Ungleichungen \(x^2 - x + 3\geq 4x - 5\)
Gebrochenrationale Ungleichungen \(\frac{1}{x +1} > 7\)
Betragsungleichungen \(|x + 1| < 3\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!