Inverse Matrix (Cramersche Regel)
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die inverse Matrix mithilfe der Cramerschen Regel berechnet.
Erforderliches Vorwissen
Voraussetzung
Nur quadratische Matrizen können eine Inverse besitzen.
Eine quadratische Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn gilt: $\det(A) \neq 0$.
Je nach Aufgabenstellung kann es sich lohnen, vorher zu überprüfen, ob die Matrix überhaupt invertierbar ist.
Beispiel
Berechne die Inverse der Matrix
$$ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$
mithilfe der Cramerschen Regel.
Ansatz aufschreiben
1. Spalte
$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}x_{11}} & x_{12} & x_{13} \\ {\color{red}x_{21}} & x_{22} & x_{23} \\ {\color{red}x_{31}} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}1} & 0 & 0 \\ {\color{red}0} & 1 & 0 \\ {\color{red}0} & 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$
Wir multiplizieren die Matrix $A$ mit der 1. Spalte der gesuchten Inversen und erhalten folgendes Gleichungssystem:
$$ \begin{align*} 2x_{11} - x_{21} = 1 \\ x_{11} + 2x_{21} - 2x_{31} = 0 \\ -x_{21} + x_{31} = 0 \end{align*} $$
2. Spalte
$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} & {\color{red}x_{12}} & x_{13} \\ x_{21} & {\color{red}x_{22}} & x_{23} \\ x_{31} & {\color{red}x_{32}} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & {\color{red}0} & 0 \\ 0 & {\color{red}1} & 0 \\ 0 & {\color{red}0} & 1 \end{pmatrix} = E $$
Wir multiplizieren die Matrix $A$ mit der 2. Spalte der gesuchten Inversen und erhalten folgendes Gleichungssystem:
$$ \begin{align*} 2x_{12} - x_{22} = 0 \\ x_{12} + 2x_{22} - 2x_{32} = 1 \\ -x_{22} + x_{32} = 0 \end{align*} $$
3. Spalte
$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & {\color{red}x_{13}} \\ x_{21} & x_{22} & {\color{red}x_{23}} \\ x_{31} & x_{32} & {\color{red}x_{33}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & {\color{red}0} \\ 0 & 1 & {\color{red}0} \\ 0 & 0 & {\color{red}1} \end{pmatrix} = E $$
Wir multiplizieren die Matrix $A$ mit der 3. Spalte der gesuchten Inversen und erhalten folgendes Gleichungssystem:
$$ \begin{align*} 2x_{13} - x_{23} = 0 \\ x_{13} + 2x_{23} - 2x_{33} = 0 \\ -x_{23} + x_{33} = 1 \end{align*} $$
Ansatz
$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} x_{11} = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}1} & -1 & 0 \\ {\color{red}0} & 2 & -2 \\ {\color{red}0} & -1 & 1 \end{vmatrix}}{|A|} & x_{12} = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}0} & -1 & 0 \\ {\color{red}1} & 2 & -2 \\ {\color{red}0} & -1 & 1 \end{vmatrix}}{|A|} & x_{13} = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}0} & -1 & 0 \\ {\color{red}0} & 2 & -2 \\ {\color{red}1} & -1 & 1 \end{vmatrix}}{|A|} \\ x_{21} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & {\color{red}1} & 0 \\ 1 & {\color{red}0} & -2 \\ 0 & {\color{red}0} & 1 \end{vmatrix}}{|A|} & x_{22} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & {\color{red}0} & 0 \\ 1 & {\color{red}1} & -2 \\ 0 & {\color{red}0} & 1 \end{vmatrix}}{|A|} & x_{23} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & {\color{red}0} & 0 \\ 1 & {\color{red}0} & -2 \\ 0 & {\color{red}1} & 1 \end{vmatrix}}{|A|} \\ x_{31} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}1} \\ 1 & 2 & {\color{red}0} \\ 0 & -1 & {\color{red}0} \end{vmatrix}}{|A|} & x_{32} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}0} \\ 1 & 2 & {\color{red}1} \\ 0 & -1 & {\color{red}0} \end{vmatrix}}{|A|} & x_{33} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}0} \\ 1 & 2 & {\color{red}0} \\ 0 & -1 & {\color{red}1} \end{vmatrix}}{|A|} \\ \end{pmatrix} $$
Dabei ist $|A|$ die Determinante der Matrix $A$.
Komponenten berechnen
1. Spalte
$$ x_{11} = \frac{ \begin{vmatrix} {\color{red}1} & -1 & 0 \\ {\color{red}0} & 2 & -2 \\ {\color{red}0} & -1 & 1 \end{vmatrix} }{|A|} = 0 $$
$$ x_{21} = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & {\color{red}1} & 0 \\ 1 & {\color{red}0} & -2 \\ 0 & {\color{red}0} & 1 \end{vmatrix} }{|A|} = -1 $$
$$ x_{31} = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}1} \\ 1 & 2 & {\color{red}0} \\ 0 & -1 & {\color{red}0} \end{vmatrix} }{|A|} = -1 $$
2. Spalte
$$ x_{12} = \frac{ \begin{vmatrix} {\color{red}0} & -1 & 0 \\ {\color{red}1} & 2 & -2 \\ {\color{red}0} & -1 & 1 \end{vmatrix} }{|A|} = 1 $$
$$ x_{22} = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & {\color{red}0} & 0 \\ 1 & {\color{red}1} & -2 \\ 0 & {\color{red}0} & 1 \end{vmatrix} }{|A|} = 2 $$
$$ x_{32} = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}0} \\ 1 & 2 & {\color{red}1} \\ 0 & -1 & {\color{red}0} \end{vmatrix} }{|A|} = 2 $$
3. Spalte
$$ x_{13} = \frac{ \begin{vmatrix} {\color{red}0} & -1 & 0 \\ {\color{red}0} & 2 & -2 \\ {\color{red}1} & -1 & 1 \end{vmatrix} }{|A|} = 2 $$
$$ x_{23} = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & {\color{red}0} & 0 \\ 1 & {\color{red}0} & -2 \\ 0 & {\color{red}1} & 1 \end{vmatrix} }{|A|} = 4 $$
$$ x_{33} = \frac{ \begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}0} \\ 1 & 2 & {\color{red}0} \\ 0 & -1 & {\color{red}1} \end{vmatrix} }{|A|} = 5 $$
Inverse Matrix aufschreiben
$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} $$
Anmerkung
$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 4 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E $$
