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Inverse Matrix
(Cramersche Regel)

Im Folgenden wollen wir mit Hilfe der Cramerschen Regel die Inverse einer Matrix berechnen. Sollte dir die Cramersche Regel nicht bekannt sein, solltest du zuerst den entsprechenden Artikel durchlesen. Da das Verfahren auf der Berechnung von Determinanten basiert, empfiehlt es sich, das Thema noch einmal zu wiederholen.

Was versteht man unter der inversen Matrix?

\(A \cdot A^{-1} = E\)

Multipliziert man eine Matrix \(A\) mit ihrer Inversen \(A^{-1}\), erhält man die Einheitsmatrix \(E\).

Determinante und inverse Matrix

Oftmals lohnt es sich, vorher zu überprüfen, ob eine Matrix überhaupt eine Inverse besitzt.

Merke: Zu Matrizen in denen Zeilen oder Spalten linear abhängig sind, deren Determinante also 0 beträgt, gibt es keine inverse Matrix.

Dementsprechend kannst du nur die inverse Matrix berechnen, wenn gilt

\(\det(A) \neq 0\)

Mathematik Video

In diesem Mathe Video (5:23 min) wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt, wie man mit Hilfe der Cramerschen Regel die inverse Matrix berechnet.

Wusstest du schon, dass dein Casio Taschenrechner auch die inverse Matrix berechnen kann?

Inverse Matrix berechnen - Beispiel

Gegeben ist eine Matrix A. Berechne ihre Inverse.

\(A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = E \)

Die Komponenten der inversen Matrix berechnen sich folgendermaßen

\[A^{-1} =
\begin{pmatrix}
x_{11} = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}1} & -1 & 0 \\ {\color{red}0} & 2 & -2 \\ {\color{red}0} & -1 & 1 \end{vmatrix}}{|A|}
&
x_{12} = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}0} & -1 & 0 \\ {\color{red}1} & 2 & -2 \\ {\color{red}0} & -1 & 1 \end{vmatrix}}{|A|}
&
x_{13} = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}0} & -1 & 0 \\ {\color{red}0} & 2 & -2 \\ {\color{red}1} & -1 & 1 \end{vmatrix}}{|A|} \\
x_{21} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & {\color{red}1} & 0 \\ 1 & {\color{red}0} & -2 \\ 0 & {\color{red}0} & 1 \end{vmatrix}}{|A|}
&
x_{22} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & {\color{red}0} & 0 \\ 1 & {\color{red}1} & -2 \\ 0 & {\color{red}0} & 1 \end{vmatrix}}{|A|}
&
x_{23} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & {\color{red}0} & 0 \\ 1 & {\color{red}0} & -2 \\ 0 & {\color{red}1} & 1 \end{vmatrix}}{|A|} \\
x_{31} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}1} \\ 1 & 2 & {\color{red}0} \\ 0 & -1 & {\color{red}0} \end{vmatrix}}{|A|}
&
x_{32} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}0} \\ 1 & 2 & {\color{red}1} \\ 0 & -1 & {\color{red}0} \end{vmatrix}}{|A|}
&
x_{33} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}0} \\ 1 & 2 & {\color{red}0} \\ 0 & -1 & {\color{red}1} \end{vmatrix}}{|A|} \\
\end{pmatrix}\]

Wie man auf diese Lösungsmatrix kommt, wird im Folgenden gezeigt.

1. Spalte der Lösungsmatrix

\(A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}x_{11}} & x_{12} & x_{13} \\{\color{red}x_{21}} & x_{22} & x_{23} \\{\color{red}x_{31}} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{red}1} & 0 & 0 \\ {\color{red}0} & 1 & 0 \\ {\color{red}0} & 0 & 1 \end{pmatrix} = E \)

Multipliziert man die Matrix A mit der 1. Spalte der gesuchten Inversen erhält man das folgende Gleichungssystem. Die 1. Spalte der Einheitsmatrix bildet dabei die rechte Seite des Gleichungssystems.

\(\begin{align*}
2x_{11} - x_{21} = 1 \\
x_{11} + 2x_{21} - 2x_{31} = 0 \\
-x_{21} + x_{31} = 0
\end{align*}\)

Wendet man die Cramersche Regel an, erhält man folgende Lösungsformeln für die Unbekannten (der 1. Spalte der inversen Matrix)

\[x_{11} = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}1} & -1 & 0 \\ {\color{red}0} & 2 & -2 \\ {\color{red}0} & -1 & 1 \end{vmatrix}}{|A|}\]

\[x_{21} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & {\color{red}1} & 0 \\ 1 & {\color{red}0} & -2 \\ 0 & {\color{red}0} & 1 \end{vmatrix}}{|A|}\]

\[x_{31} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}1} \\ 1 & 2 & {\color{red}0} \\ 0 & -1 & {\color{red}0} \end{vmatrix}}{|A|}\]

2. Spalte der Lösungsmatrix

\(A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} &{\color{red}x_{12}} & x_{13} \\ x_{21} &{\color{red}x_{22}} & x_{23} \\ x_{31} &{\color{red}x_{32}} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & {\color{red}0} & 0 \\ 0 & {\color{red}1} & 0 \\ 0 & {\color{red}0} & 1 \end{pmatrix} = E \)

Multipliziert man die Matrix A mit der 2. Spalte der gesuchten Inversen erhält man das folgende Gleichungssystem. Die 2. Spalte der Einheitsmatrix bildet dabei die rechte Seite des Gleichungssystems.

\(\begin{align*}
2x_{12} - x_{22} = 0 \\
x_{12} + 2x_{22} - 2x_{32} = 1 \\
-x_{22} + x_{32} = 0
\end{align*}\)

Wendet man die Cramersche Regel an, erhält man folgende Lösungsformeln für die Unbekannten (der 2. Spalte der inversen Matrix)

\[x_{12} = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}0} & -1 & 0 \\ {\color{red}1} & 2 & -2 \\ {\color{red}0} & -1 & 1 \end{vmatrix}}{|A|}\]

\[x_{22} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & {\color{red}0} & 0 \\ 1 & {\color{red}1} & -2 \\ 0 & {\color{red}0} & 1 \end{vmatrix}}{|A|}\]

\[x_{32} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}0} \\ 1 & 2 & {\color{red}1} \\ 0 & -1 & {\color{red}0} \end{vmatrix}}{|A|}\]

3. Spalte der Lösungsmatrix

\(A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} &{\color{red}x_{13}} \\ x_{21} & x_{22} &{\color{red}x_{23}} \\ x_{31} & x_{32} &{\color{red}x_{33}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & {\color{red}0} \\ 0 & 1 & {\color{red}0} \\ 0 & 0 & {\color{red}1} \end{pmatrix} = E \)

Multipliziert man die Matrix A mit der 3. Spalte der gesuchten Inversen erhält man das folgende Gleichungssystem. Die 3. Spalte der Einheitsmatrix bildet dabei die rechte Seite des Gleichungssystems.

\(\begin{align*}
2x_{13} - x_{23} = 0 \\
x_{13} + 2x_{23} - 2x_{33} = 0 \\
-x_{23} + x_{33} = 1
\end{align*}\)

Wendet man die Cramersche Regel an, erhält man folgende Lösungsformeln für die Unbekannten (der 3. Spalte der inversen Matrix)

\[x_{13} = \frac{\begin{vmatrix} {\color{red}0} & -1 & 0 \\ {\color{red}0} & 2 & -2 \\ {\color{red}1} & -1 & 1 \end{vmatrix}}{|A|}\]

\[x_{23} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & {\color{red}0} & 0 \\ 1 & {\color{red}0} & -2 \\ 0 & {\color{red}1} & 1 \end{vmatrix}}{|A|}\]

\[x_{33} = \frac{\begin{vmatrix} 2 & -1 & {\color{red}0} \\ 1 & 2 & {\color{red}0} \\ 0 & -1 & {\color{red}1} \end{vmatrix}}{|A|}\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!