Kartesisches Produkt

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was das kartesische Produkt ist.
Grundkenntnisse der Mengenlehre werden als bekannt vorausgesetzt.

Gegeben

\(A\) ist die Menge aller meiner männlichen Freunde.
\(B\) ist die Menge aller meiner weiblichen Freunde.

\(A = \{\text{David}, \text{Mark}, \text{Robert}\}\)
\(B = \{\text{Anna}, \text{Johanna}, \text{Laura}\}\)

Gesucht

Auf meiner Geburtstagsfeier soll jeder Junge mit jedem Mädchen einmal tanzen.

Ich interessiere mich für die Menge aller möglichen Tanzpaare.

Wie wir ein Tanzpaar in der Sprache der Mathematik aufschreiben

Jedes Tanzpaar können wir als Tupel schreiben, wobei dessen erste Komponente ein Element der Menge \(A\) und dessen zweite Komponente ein Element der Menge \(B\) ist. Ein Tupel, das aus zwei Komponenten besteht, heißt geordnetes Paar. Das Tanzpaar bestehend aus \(\text{David}\) und \(\text{Anna}\) schreiben wir auf Mathematisch folgendermaßen: \((\text{David}, \text{Anna})\).

Lösung

\(L = \left\{
\begin{align*}
&(\text{David}, \text{Anna}), (\text{David}, \text{Johanna}), (\text{David}, \text{Laura}),\\
&(\text{Mark}, \text{Anna}), (\text{Mark}, \text{Johanna}), (\text{Mark}, \text{Laura}),\\
&(\text{Robert}, \text{Anna}), (\text{Robert}, \text{Johanna}), (\text{Robert}, \text{Laura})
\end{align*}
\right\}\)

\(L\) enthält alle möglichen Tanzpaare.

Mathematische Bezeichnung

Die Menge \(L\) heißt kartesisches Produkt von \(A\) und \(B\).
Außerdem sind die Bezeichnungen Produktmenge, Paarmenge und Kreuzprodukt geläufig.

Mathematische Schreibweise

\(\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}
L = {\color{naranja}A \times B}
\) (sprich: „L gleich dem kartesischen Produkt von A und B“)
Abkürzend können wir \(L = A \times B\) auch als „L gleich A Kreuz B“ sprechen.

Definition des kartesischen Produkts

Das kartesische Produkt \(A \times B\) ist
die Menge aller geordneten Paare \((a,b)\)
mit der ersten Komponente \(a\) aus \(A\)
und der zweiten Komponente \(b\) aus \(B\):

\(A \times B = \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Sprechweise

\(
\underbrace{\vphantom{\vert}A \times B}_\text{A Kreuz B}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\{}_\text{die Menge aller}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}(a,b)}_\text{geordneten Paare}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}|}_\text{für die gilt:}~~
\)
\(
\underbrace{\vphantom{\vert}a \in A}_\text{a ist Element von A}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}b \in B}_\text{b ist Element von B}~~
\}
\)

Bedeutung von \(\wedge\)

\(\wedge\) ist das mathematische Symbol für das „logische UND“. In der Logik ist eine Aussage, die mit \(\wedge\) („und“) verknüpft ist, wahr, wenn beide der beteiligten Aussagen wahr sind.

Vereinfachte Schreibweise für gleiche Mengen

Statt \(A \times A\) können wir abkürzend auch \(A^2\) schreiben.

Populäre Beispiele

  • Zweidimensionaler Raum: \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2\) (sprich: „R zwei“)
  • Dreidimensionaler Raum: \(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^3\) (sprich: „R drei“)

Zur Veranschaulichung des zweidimensionalen Raums \(\mathbb{R}^2\) verwenden wir im Schulunterricht das kartesische Koordinatensystem. Jedes Objekt des zweidimensionalen Raums, d. h. jedes geordnete Paar \((x, y)\) mit \(x \in \mathbb{R}\) und \(y \in \mathbb{R}\), kann dort als Punkt veranschaulicht werden.

Kartesisches Produkt bestimmen

Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:

Lösungsverfahren

  1. \((a_1, b_1)\)
  2. \((a_1, b_2)\)
  3. \(\;\;\vdots\;\;\;\;\vdots\)
  4. \((a_2, b_1)\)
  5. \((a_2, b_2)\)
  6. \(\;\;\vdots\;\;\;\;\vdots\)

Die Idee ist, dass wir zuerst alle geordneten Paare aufschreiben, die wir mit dem ersten Element der Menge \(A\) bilden können. Danach schreiten wir elementweise voran.

Gegeben

\(A = \{1,2,3\}\); \(B = \{3,4\}\);

Gesucht

Das kartesische Produkt \(A \times B\).

Lösung

Zunächst bilden wir alle geordneten Paare mit Hilfe des ersten Elements von \(A\):

\(\begin{align*}
A \times B &= \{{\color{red}1}, 2, 3\} \times \{{\color{green}3}, {\color{green}4}\}\\
&= \{({\color{red}1}, {\color{green}3}), ({\color{red}1}, {\color{green}4}), \ldots\}
\end{align*}\)

Danach bilden wir alle geordneten Paare mit Hilfe des zweiten Elements von \(A\):

\(\begin{align*}
A \times B &= \{1, {\color{red}2}, 3\} \times \{{\color{green}3}, {\color{green}4}\}\\
&= \{(1, 3), (1, 4), ({\color{red}2}, {\color{green}3}), ({\color{red}2}, {\color{green}4}), \ldots\}
\end{align*}\)

Zum Schluss bilden wir alle geordneten Paare mit Hilfe des letzten Elements von \(A\):

\(\begin{align*}
A \times B &= \{1, 2, {\color{red}3}\} \times \{{\color{green}3}, {\color{green}4}\}\\
&= \{(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), ({\color{red}3}, {\color{green}3}), ({\color{red}3}, {\color{green}4})\}
\end{align*}\)

Damit sind wir am Ende!

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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