Kettenregel

In diesem Kapitel schauen wir uns die Kettenregel etwas genauer an.

Inhaltsverzeichnis

Erforderliches Vorwissen

Einsatzzweck

Ableitung einer Verkettung von Funktionen

Regel

Kettenregel

$$ f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Die Multiplikation mit $h'(x)$ wird als nachdifferenzieren bezeichnet.

Symbolverzeichnis

$g(x)$ : Äußere Funktion
$g'(x)$ : Äußere Ableitung
$h(x)$ : Innere Funktion
$h'(x)$ : Innere Ableitung

Anleitung

Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten

Verkettete Funktion ableiten

Formel aufschreiben

Werte einsetzen

Ergebnis berechnen

Beispiele

Beispiel 1

Berechne die Ableitung der Funktion $f(x) = \left(x^3+4\right)^2$ .

Äußere und innere Funktion der verketteten Funktion einzeln ableiten

Die Ableitung der äußeren/inneren Funktion der verketteten Funktion $f(x) = \left(x^3+4\right)^2$ ist

Funktion	Ableitung
$g(x) = x^2$	`$$g'(x) = 2x$$`
$h(x) = x^3 + 4$	`$$h'(x) = 3x^2$$`

Verkettete Funktion ableiten

Formel aufschreiben

$$ f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) $$

Werte einsetzen

$$ \phantom{f'(x)} = 2\left(x^3+4\right) \cdot 3x^2 $$

Ergebnis berechnen

$$ \phantom{f'(x)} = 6x^2\left(x^3 + 4\right) $$

Anmerkung

Normalerweise würden wir in dem obigen Beispiel den Funktionsterm vor dem Ableiten gemäß den Potenzgesetzen vereinfachen und uns so die Arbeit mit der Kettenregel sparen. Zum Erlernen der Kettenregel eignet sich dieses einfache Beispiel jedoch hervorragend.

Beispiel 2

$$ f(x) = \left(x^3+4\right)^2 = x^6 + 8x^3 + 16 $$

$$ f'(x) = 6x^5 + 24x^2 = 6x^2\left(x^3 + 4\right) $$

Weitere Beispiele

In den folgenden Kapiteln findest du weitere Beispiele, in denen die Kettenregel angewendet werden muss.

Online-Rechner

Ableitungsrechner