Kettenregel

In diesem Kapitel schauen wir uns die Kettenregel etwas genauer an.

Bei der Kettenregel handelt es sich um eine Ableitungsregel, die immer dann anzuwenden ist, wenn zwei Funktionen miteinander verkettet (= ineinander verschachtelt) sind.

Die Kettenregel besagt

\(f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

Bezeichnungen:

  • \(g(x)\) = äußere Funktion
  • \(g'(x)\) = äußere Ableitung
  • \(h(x)\) = innere Funktion
  • \(h'(x)\) = innere Ableitung.
  • Die Multiplikation mit \(h'(x)\) wird als "nachdifferenzieren" bezeichnet.

Obwohl die Kettenregel kompliziert aussieht, ist das Vorgehen eigentlich ganz einfach:

  1. Äußere Funktion \(g(x)\) und innere Funktion \(h(x)\) identifizieren
  2. Ableitungen der beiden Teilfunktionen \(g(x)\) und \(h(x)\) berechnen
  3. Zwischenergebnisse in die Formel einsetzen

Um das folgende Beispiel zu verstehen, sollte dir die Potenzregel bereits bekannt sein.

Beispiel

\(f(x) = \left(x^3+4\right)^2\)

Die äußere Funktion ist: \(g(x) = x^2 \quad \rightarrow \quad g'(x) = 2x\)

Die innere Funktion ist: \(h(x) = x^3+4 \quad \rightarrow \quad h'(x) = 3x^2\)

Jetzt setzen wir entsprechend in die Formel ein

\(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

\(f'(x) = 2\left(x^3+4\right) \cdot 3x^2 = 6x^2\left(x^3 + 4\right)\)

Hinweis: Selbstverständlich könnte man in diesem Fall den Term auch einfach ausmultiplizieren und sich so die Arbeit mit der Kettenregel sparen. Da sich die Anwendung der Kettenregel aber oftmals nicht vermeiden lässt, muss man sie ebenso gut beherrschen wie die anderen Ableitungsregeln. Normalerweise würde man diese Aufgabe also folgendermaßen (nur mit Hilfe der Potenzregel) berechnen:

Beispiel (ohne Kettenregel)

\(f(x) = \left(x^3+4\right)^2 = x^6 + 8x^3 + 16\)

\(f'(x) = 6x^5 + 24x^2 = 6x^2\left(x^3 + 4\right)\)

Mehr Beispiele...

In folgenden Artikeln findest du zahlreiche Beispiele, in denen die Kettenregel angewendet werden muss. Es lohnt sich, die einzelnen Themen nacheinander durchzuarbeiten.

Kettenregel - Video 1

In diesem Mathe Video (6:27 min) wird dir die Anwendung der Faktorregel sowie der Kettenregel anhand einer Exponentialfunktion (e-Funktion) gezeigt.

Kettenregel - Video 2

In diesem Mathe Video (5:19 min) wird dir die Anwendung der Faktorregel sowie der Kettenregel anhand einer Logarithmusfunktion gezeigt.

Ableitungsregeln

Neben der Kettenregel gibt es noch weitere Ableitungsregeln, die du beherrschen solltest.

Potenzregel \(f(x) = x^n\) \(f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)
Faktorregel \(f(x) = c \cdot g(x)\) \(f'(x) = c \cdot g'(x)\)
Summenregel \(f(x) = g(x) + h(x)\) \(f'(x) = g'(x) + h'(x)\)
Differenzregel \(f(x) = g(x) - h(x)\) \(f'(x) = g'(x) - h'(x)\)
Produktregel \(f(x) = g(x) \cdot h(x)\) \(f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\)
Quotientenregel \(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\) \(f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}\)
Kettenregel \(f(x) = g(h(x))\) \(f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!