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Kleinstes gemeinsames Vielfaches

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV).

Notwendiges Vorwissen: Vielfaches und Primfaktorzerlegung

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen \(m\) und \(n\) ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von \(m\) als auch von \(n\) ist.

Beispiel

Gesucht ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 7.

Vielfache von 5 sind: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, ...
Vielfache von 7 sind: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, ...

Vielfache, die 5 und 7 gemeinsam haben, sind: 35, 70, ...

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 7 ist 35.
\(\Rightarrow \text{kgV}(5;7) = 35\)

Anwendungen

Im Folgenden findest du einige Beispiele, wann das kgV eine Rolle spielt:

Kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen

Vorgehensweise 1

  1. Primfaktorzerlegung
  2. Primfaktoren bei der Zahl markieren, bei der sie am meisten vorkommen
  3. Markierte Primfaktoren miteinander multiplizieren

Beispiel 1

Gesucht ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 10 und 12.

1.) Primfaktorzerlegung

\(10 = 2 \cdot 5\)

\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\)

2.) Primfaktoren bei der Zahl markieren, bei der sie am meisten vorkommen

\(10 = 2 \cdot{\colorbox{yellow}{\(5\)}}\)

\(12 ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(3\)}}\)

Erklärung:

  • Der Primfaktor 2 kommt bei der Zahl 10 einmal und bei der Zahl 12 zweimal vor.
    \(\Rightarrow\) Wir markieren die beiden 2er bei der 12.
  • Der Primfaktor 3 kommt bei der Zahl 12 einmal und bei der Zahl 10 gar nicht vor.
    \(\Rightarrow\) Wir markieren die 3 bei der 12.
  • Der Primfaktor 5 kommt bei der Zahl 10 einmal und bei der Zahl 12 gar nicht vor.
    \(\Rightarrow\) Wir markieren die 5 bei der 10.

3.) Markierte Primfaktoren miteinander multiplizieren

\(\text{kgV}(10;12) ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(5\)}} = 60\)

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 10 und 12 ist 60.

Beispiel 2

Gesucht ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 12.

1.) Primfaktorzerlegung

\(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\)

\(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\)

2.) Primfaktoren bei der Zahl markieren, bei der sie am meisten vorkommen

\(20 = 2 \cdot 2 \cdot{\colorbox{orange}{\(5\)}}\)

\(12 ={\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(3\)}}\)

Erklärung:

  • Der Primfaktor 2 kommt bei beiden Zahlen gleich oft vor.
    \(\Rightarrow\) Wir können uns aussuchen, bei welcher Zahl wir die beiden 2er markieren.
    (Wir haben uns hier für die 12 entschieden.)
  • Der Primfaktor 3 kommt bei der Zahl 12 einmal und bei der Zahl 20 gar nicht vor.
    \(\Rightarrow\) Wir markieren die 3 bei der 12.
  • Der Primfaktor 5 kommt bei der Zahl 20 einmal und bei der Zahl 12 gar nicht vor.
    \(\Rightarrow\) Wir markieren die 5 bei der 20.

3.) Markierte Primfaktoren miteinander multiplizieren

\(\text{kgV}(20;12) ={\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{orange}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{orange}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{orange}{\(5\)}} = 60\)

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 12 ist 60.

Beispiel 3

Gesucht ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 63 und 90.

1.) Primfaktorzerlegung

\(63 = 3 \cdot 3 \cdot 7\)

\(90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\)

2.) Primfaktoren bei der Zahl markieren, bei der sie am meisten vorkommen

\(63 ={\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(7\)}}\)

\(90 ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot 3 \cdot 3 \cdot{\colorbox{yellow}{\(5\)}}\)

Erklärung:

  • Der Primfaktor 2 kommt bei 90 öfter vor als bei 63.
  • Der Primfaktor 3 kommt bei beiden Zahlen gleich oft vor.
    \(\Rightarrow\) Wir können uns aussuchen, bei welcher Zahl wir den Primfaktor markieren.
    (Wir haben uns hier für die 63 entschieden.)
  • Der Primfaktor 5 kommt bei 90 öfter vor als bei 63.
  • Der Primfaktor 7 kommt bei 63 öfter vor als bei 90.

3.) Markierte Primfaktoren miteinander multiplizieren

\(\text{kgV}(63;90) ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(5\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(7\)}} = 630\)

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 63 und 90 ist 630.

Vorgehensweise 2

  1. Primfaktorzerlegung
  2. Primfaktoren der größeren Zahl markieren
  3. Noch fehlende Primfaktoren der kleineren Zahl markieren
  4. Markierte Primfaktoren miteinander multiplizieren

In Worten: Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist das Produkt der Primfaktoren der größeren Zahl  und der noch fehlenden Primfaktoren der kleineren Zahl.

Beispiel

Gesucht ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 54 und 90.

1.) Primfaktorzerlegung

\(54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\)

\(90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\)

2.) Primfaktoren der größeren Zahl markieren

\(90 ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(5\)}}\)

3.) Noch fehlende Primfaktoren der kleineren Zahl markieren

\(54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot{\colorbox{orange}{\(3\)}}\)

Erklärung:

  • die 2 und die beiden 3er wurden bereits bei der größeren Zahl markiert;
    lediglich die dritte 3 muss noch markiert werden;

4.) Markierte Primfaktoren miteinander multiplizieren

\(\text{kgV}(54;90) ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(3\)}} \cdot {\colorbox{yellow}{\(5\)}} \cdot {\colorbox{orange}{\(3\)}} = 270\)

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 54 und 90 ist 270.

Primzahlen, Vielfache und Teiler

Weitere Informationen zu diesem Themebereich findest du in den folgenden Artikeln:

Primzahlen
Teilbarkeitsregeln
Primfaktorzerlegung
Vielfaches
> Vielfachenmenge
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Teiler
> Teilermenge
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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