Kombination ohne Wiederholung
Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten.
In diesem Kapitel schauen wir uns die Kombination ohne Wiederholung an, die folgende Frage beantwortet:
Wie viele Möglichkeiten gibt es,
$\boldsymbol{k}$ Kugeln aus einer Urne mit $\boldsymbol{n}$ Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen zu ziehen?
Erforderliches Vorwissen
Definition
Bei einer Kombination ohne Wiederholung werden $k$ aus $n$ Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei jedes Objekt nur einmal ausgewählt werden kann.
Formel
$$ {n \choose k} $$
${n \choose k}$ wird k aus n
(früher auch: n über k
) gesprochen.
Herleitung
Der einzige Unterschied zwischen einer Variation ohne Wiederholung und einer Kombination ohne Wiederholung ist die Tatsache, dass bei der Kombination – im Gegensatz zur Variation – die Reihenfolge der Objekte keine Rolle spielt.
Die Formel für die Variation ohne Wiederholung kennen wir bereits
$$ \frac{n!}{(n-k)!} $$
Dabei können die $k$ ausgewählten Objekte auf $k!$ verschiedene Weisen angeordnet werden. Da aber die Reihenfolge bei der Kombination unerheblich ist, lautet die Formel entsprechend
$$ \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} = {n \choose k} $$
${n \choose k}$ bezeichnet man auch als Binomialkoeffizient.
Binomialkoeffzient in den Taschenrechner eingeben
Wie gibt man den folgenden Ausdruck am besten in den Taschenrechner ein?
$$ {10 \choose 5} $$
Bei den meisten Taschenrechner gibt es dafür die nCr
-Taste.
Beispiel Casio: [1][0] [Shift][$\div$] [5] [=] 252
Beispiele
In einer Urne befinden sich fünf gleichartige Kugeln. Es sollen drei Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen gezogen werden.
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
$$ {5 \choose 3} = 10 $$
Es gibt 10 Möglichkeiten 3 von 5 Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen zu ziehen.
Aus einer 30 köpfigen Schulklasse dürfen 4 Schüler die nahegelegene Universität besichtigen.
Wie viele Auswahlmöglichkeiten hat der Lehrer für dieses Ausflug?
$$ {30 \choose 4} = 27405 $$
Der Lehrer kann aus 27405 Möglichkeiten die Ausflugsgruppe bestimmen.
