Komplement

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was das Komplement einer Menge ist.
Grundkenntnisse der Mengenlehre werden als bekannt vorausgesetzt.

Gegeben

\(A\) ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen.
\(B\) ist die Menge aller meiner Freunde.

\(A = \{{\color{red}\text{Anna}}, {\color{red}\text{Laura}}, {\color{red}\text{Mark}}\}\)

\(B = \{{\color{red}\text{Anna}}, {\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{red}\text{Laura}}, {\color{red}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}\}\)

Beobachtung

\(A\) ist (echte) Teilmenge von \(B\).

Gesucht

Welche meiner Freunde spielen kein Musikinstrument?

Lösung

\(L = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Robert}}\}\)

\(L\) enthält alle meine Freunde, die kein Musikinstrument spielen.

Mathematische Bezeichnung

Die Menge \(L\) heißt Komplementärmenge oder Komplement von \(A\) bezüglich \(B\).

Mathematische Schreibweise

\(\definecolor{naranja}{RGB}{255,128,0}
L = {\color{naranja}\bar{A}_{B}}
\) (sprich: „L gleich Komplement von A bezüglich B“)

Definition des Komplements

Ist \(A\) eine Teilmenge von \(B\), dann heißt die Menge aller Elemente,
die zu \(B\), aber nicht zu \(A\) gehören, auch Komplement von \(A\) bzgl. \(B\):

\(\bar{A}_B = \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)

Sprechweise

Das Komplement von A bezüglich B...

\(
\bar{A}_B \quad
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}x}_\text{x}~
\underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \in B}_\text{x ist Element von B}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}\wedge}_\text{und}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}x \notin A}_\text{x ist nicht Element von A}~~
\}
\)

Bedeutung von \(\wedge\)

\(\wedge\) ist das mathematische Symbol für das „logische UND“. In der Logik ist eine Aussage, die mit \(\wedge\) („und“) verknüpft ist, wahr, wenn beide der beteiligten Aussagen wahr sind.

Mengendiagramm

Die grün linierte Fläche entspricht der Menge aller Elemente, die zu \(B\), aber nicht zu \(A\) gehören.

Verhältnis zur Differenzmenge

Das Komplement (die Komplementärmenge) ist ein Spezialfall der Differenzmenge:

Wenn \(A\) Teilmenge von \(B\) ist, wird
die Differenzmenge \(B \setminus A\) auch Komplement von \(A\) bzgl. \(B\) genannt:

\(\bar{A}_B = B \setminus A = \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)

Offensichtlich ist jede Komplementärmenge auch eine Differenzmenge, eine Differenzmenge muss jedoch keine Komplementärmenge sein. Differenzmenge ist der allgemeinere Begriff.

Vereinfachte Schreibweise

Ist die Menge \(B\) aus dem Zusammenhang heraus offenbar, so können wir auch schreiben:

Die Menge aller Elemente, die nicht zu \(A\) gehören,
heißt Komplement von \(A\).

\(\bar{A} = \{x \,|\, x \notin A\}\)

Komplement bestimmen

Um Fehler zu vermeiden, empfiehlt sich ein systematisches Vorgehen:

Lösungsverfahren (\(A \subseteq B\))

  1. Elemente, die sowohl in \(A\) als auch in \(B\) vorkommen, streichen
  2. Nicht durchgestrichene Elemente von \(B\) in neuer Menge zusammenfassen

Beispiel

\(A = \{{\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}\)
\(B = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}, {\color{red}\cancel{4}}, {\color{red}\cancel{5}}\}\)

Das Komplement von \(A\) bzgl. \(B\) ist:
\(\bar{A}_B = B \setminus A = \{{\color{green}1}, {\color{green}2}, {\color{green}3}\}\)

\(\bar{A}_B\) ist die Menge aller Elemente von \(B\), die nicht in \(A\) enthalten sind.

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!