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Komplexe Zahlen

Ist x eine beliebige positive oder negative Zahl, so ist das Quadrat von x immer positiv. Aus diesem Grund erfüllt keine reelle Zahl die Gleichung

\(x^2 = -1 \qquad \text{bzw.} \qquad x = \sqrt{-1}\)

Mathematiker haben sich damit aber nicht zufrieden gegeben und eine imaginäre Zahl eingeführt, für die gilt

\(i^2 = -1 \qquad \text{bzw.} \qquad i = \sqrt{-1}\)

Zusammen mit den reellen Zahlen bilden imaginäre Zahlen die Menge der komplexen Zahlen.

\(z = x + y \cdot i\)

Dabei ist \(x\) der Realteil und \(y\) der Imaginärteil der komplexen Zahl \(z\).

\(x\) und \(y\) sind reelle Zahlen. \(i\) wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

Beispiele komplexer Zahlen

\(z_1 = 4 + 3i\)

\(z_2 = 2 - 7i\)

\(z_3 = -5 + 5i\)

\(z_4 = -3 - 2i\)

Komplexe Ebene (Gaußsche Zahlenebene)

Um komplexe Zahlen geometrisch zu interpretieren, verwendet man die komplexe Ebene (auch Gaußsche Zahlenebene genannt).

Die x-Achse der gaußschen Zahlenebene entspricht der x-Achse in einem normalen kartesischen Koordinatensystem. Die x-Achse heißt hier reelle Achse.

Die y-Achse der gaußschen Zahlenebene unterscheidet sich dagegen von der y-Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Auf der y-Achse wird nämlich die imaginäre Einheit \(i\) abgetragen. Diese Achse heißt dementsprechend imaginäre Achse.

Komplexe Zahlen kann man entweder als Punkte oder als Vektoren der Gaußschen Zahlenebene visualisieren. Der folgenden Graphik kann man beide Interpretationen entnehmen.

Komplexe Zahlen addieren und subtrahieren

Gegeben sind zwei komplexe Zahlen

\(z_1 = x_1 + y_1 \cdot i\)

\(z_2 = x_2 + y_2 \cdot i\)

Die Summe bzw. Differenz der beiden Zahlen ist definiert durch

\(z_1 + z_2 = (x_1+x_2){\color{red}+}(y_1+y_2)i\)

\(z_1 - z_2 = (x_1-x_2){\color{red}+}(y_1-y_2)i\)

Sowohl bei der Addition als auch bei der Subtraktion von komplexen Zahlen kommt in der Formel ein Pluszeichen vor (rot markiert). Bitte merken! :)

Rechengesetze

  • Kommutativgesetz der Addition
    \(z_1 + z_2 = z_2 + z_1\)
  • Assoziativgesetz der Addition
    \(z_1 + (z_2 + z_3) = (z_1 + z_2) + z_3\)

Beispiel - Graphisch

Die Addition bzw. die Subtraktion von komplexen Zahlen entspricht graphisch der Vektoraddition bzw. der Vektorsubtraktion.

Beispiele - Rechnerisch - Schwierigkeitsstufe 1

\((3 + 4i) + (5 + 2i) = (3 + 5){\color{red}+}(4i + 2i) = 8 + 6i\)

\((7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3){\color{red}+}(5i - 3i) = 4 + 2i\)

Beispiele - Rechnerisch - Schwierigkeitsstufe 2

\((3 + 4i) + (5 - 2i) = (3 + 5){\color{red}+}(4i - 2i) = 8 + 2i\)

\((7 - 5i) - (-3 + 3i) = (7 - (-3)){\color{red}+}(-5i - 3i) = 10 - 8i\)

Beim Rechnen mit komplexen Zahlen sollte man - wie man deutlich sieht - auf die jeweiligen Vorzeichen ganz besonders achten!

Komplexe Zahlen multiplizieren

Gegeben sind zwei komplexe Zahlen

\(z_1 = x_1 + y_1 \cdot i\)

\(z_2 = x_2 + y_2 \cdot i\)

Das Produkt der beiden Zahlen ist definiert durch

\(\begin{align*}
z_1 \cdot z_2 &= (x_1 + y_1 \cdot i) \cdot (x_2 + y_2 \cdot i) \\
&= x_1x_2 + x_1y_2 \cdot i + x_2y_1 \cdot i + y_1y_2 \cdot i^2 \qquad \text{Hinweis: \(i^2 = -1\)}\\
&= (x_1x_2 - y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1)\cdot i
\end{align*}\)

Rechengesetze

  • Kommutativgesetz der Multiplikation
    \(z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1\)
  • Assoziativgesetz der Multiplikation
    \(z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3\)
  • Distributivgesetz
    \(z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3\)

Beispiele

\((3 + 4i) \cdot (5 + 2i) = 15 + 6i + 20i + 8i^2 = 15 + 26i + 8\cdot(-1) = 7 + 26i\)

\((-7 + 5i) \cdot (3 - 3i) = -21 + 21i + 15i - 15i^2 = -21 + 36i - 15\cdot(-1) = -6 + 36i\)

Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen muss man \(i^2 = -1\) stets im Hinterkopf behalten.

Komplex Konjugierte

Bevor wir uns mit der Division von komplexen Zahlen beschäftigen, müssen wir uns anschauen, was es mit der komplex Konjugierten auf sich hat.

Gegeben ist eine komplexe Zahl \(z\)

\(z = x + y \cdot i\)

dann ist ihre komplex Konjugierte \(\bar{z}\) definiert durch

\(\bar{z} = x - y \cdot i\)

Die konjugiert komplexe Zahl \(\bar{z}\) einer komplexen Zahl \(z\) erhält man durch das Vertauschen des Vorzeichens des Imaginärteils.

Graphisch entspricht das der Spiegelung von \(z\) an der reellen Achse der komplexen Zahlenebene.

Mit Hilfe der komplex Konjugierten kann man den reziproken Wert \(1/z\) einer komplexen Zahl berechnen.

\[\frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot \frac{\bar{z}}{\bar{z}} = \frac{\bar{z}}{z \cdot \bar{z}} = \frac{x - y \cdot i}{x^2 + y^2} \]

Außerdem können wir mit Hilfe der komplex Konjugierten den Betrag (d.h. die Länge des Vektors) einer komplexen Zahl berechnen.

\(|z|^2 = z \cdot \bar{z} = (x + y \cdot i) \cdot (x - y \cdot i) = x^2 - xyi + xyi - y^2i^2 = x^2 + y^2\)

\(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

Komplexe Zahlen dividieren

Da wir jetzt wissen, wie man mit der komplex Konjugierten rechnet, können wir uns endlich anschauen, wie man komplexe Zahlen dividiert.

Um komplexe Zahlen zu dividieren, bedient man sich eines Tricks. Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den Zähler und den Nenner mit der komplex Konjugierten des Nenners multipliziert.

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1}{z_2} \cdot \frac{\bar{z_2}}{\bar{z_2}}\]

Beispiele

\[\frac{4 + 3i}{2 + 2i} = \frac{4 + 3i}{2 + 2i} \cdot \frac{2 - 2i}{2 - 2i} = \frac{8 - 8i + 6i - 6i^2}{4 - 4i + 4i - 4i^2} = \frac{14 - 2i}{8} = 1,75 - 0,25i\]

Im nächsten Beispiel sparen wir uns, den Nenner auszumultiplizieren, da wir ja das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer komplex Konjugierten bereits kennen.

\(z \cdot \bar{z} = (x + y \cdot i) \cdot (x - y \cdot i) = x^2 - xyi + xyi - y^2i^2 = x^2 + y^2\)

Das zweite Bespiel lautet deshalb

\[\frac{5 + 2i}{3 + 4i} = \frac{5 + 2i}{3 + 4i} \cdot \frac{3 - 4i}{3 - 4i} = \frac{15 - 20i + 6i -8i^2}{3^2 + 4^2} = \frac{23 - 14i}{25} = \frac{23}{25} - \frac{14}{25}i\]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!