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Komplexe Zahlen multiplizieren

Im Hauptkapitel zu diesem Thema haben wir definiert, was man unter komplexen Zahlen versteht. In diesem Kapitel geht es um die Multiplikation von komplexen Zahlen.

Komplexe Zahlen multiplizieren - Definition

Gegeben sind zwei komplexe Zahlen

\(z_1 = x_1 + y_1 \cdot i\)

\(z_2 = x_2 + y_2 \cdot i\)

Das Produkt der beiden Zahlen ist definiert durch

\(\begin{align*}
z_1 \cdot z_2 &= (x_1 + y_1 \cdot i) \cdot (x_2 + y_2 \cdot i) \\
&= x_1x_2 + x_1y_2 \cdot i + x_2y_1 \cdot i + y_1y_2 \cdot i^2 \qquad \text{Hinweis: \(i^2 = -1\)}\\
&= (x_1x_2 - y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1)\cdot i
\end{align*}\)

Rechengesetze

  • Kommutativgesetz der Multiplikation
    \(z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1\)
  • Assoziativgesetz der Multiplikation
    \(z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) = (z_1 \cdot z_2) \cdot z_3\)
  • Distributivgesetz
    \(z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3\)

Komplexe Zahlen multiplizieren - Beispiele

\(\begin{align*}
(3 + 4i) \cdot (5 + 2i) &= 15 + 6i + 20i + 8i^2\\
&=15 + 26i + 8\cdot(-1)\\
&= 7 + 26i
\end{align*}\)

\(\begin{align*}
(-7 + 5i) \cdot (3 - 3i) &= -21 + 21i + 15i - 15i^2\\
&= -21 + 36i - 15\cdot(-1)\\
&= -6 + 36i
\end{align*}\)

Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen muss man \(i^2 = -1\) stets im Hinterkopf behalten.

Wir können festhalten, dass komplexe Zahlen multiplizieren gar nicht so schwer ist, wenn man erstmal ein paar Aufgaben bewältigt hat. Im nächsten Kapitel geht es um die Division von komplexen Zahlen. Weiterhin viel Spaß beim Üben!

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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