Kosinusfunktion

In diesem Kapitel schauen wir uns die Kosinusfunktion etwas genauer an.

Notwendiges Vorwissen: Kosinus

Die Kosinusfunktion ist eine Funktion,
die jedem \(x \in \mathbb{D}\) seinen Kosinuswert \(y\) zuordnet:

\(y = \cos(x) \quad \text{mit } \mathbb{D} =\mathbb{R}\)

Die Kosinusfunktion gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

Graph der Kosinusfunktion

Der Graph der Kosinusfunktion heißt Kosinuskurve.

Um die Kosinusfunktion sauber zu zeichnen, legen wir zunächst eine Wertetabelle an:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & 0° & 30° & 45° & 60° & 90° & 120° & 135° & 150° & 180°\\
 & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{6}} & {\color{gray}\frac{\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\frac{2\pi}{3}} & {\color{gray}\frac{3\pi}{4}} & {\color{gray}\frac{5\pi}{6}} & {\color{gray}\pi} \\
\hline
\cos(x) & 1 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -1
\end{array}

Die obige Tabelle zeigt, dass es rechnerisch keinen Unterschied macht, ob die Argumente (\(x\)-Werte) der Funktion im Gradmaß oder im Bogenmaß vorliegen. Zur Darstellung von trigonometrischen Funktionen in einem Koordinatensystem ist es allerdings üblich, das Bogenmaß zu verwenden. Zur Erinnerung: \(360°\) (Gradmaß) entsprechen \(2\pi\) (Bogenmaß).

Zum Zeichnen sind insbesondere folgende Punkte von Bedeutung:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c}
x & 0° & 90° & 180° & 270° & 360°\\
 & {\color{gray}0} & {\color{gray}\frac{\pi}{2}} & {\color{gray}\pi} & {\color{gray}\frac{3\pi}{2}} & {\color{gray}2\pi} \\
\hline
\cos(x) & 1 & 0 & -1 & 0 & 1
\end{array}


Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[y = \cos(x)\]

Eigenschaften der Kosinusfunktion

Die Kosinusfunktion besitzt einige interessante Eigenschaften, die wir im Folgenden betrachten:


Definitionsmenge

\(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)

Wertemenge

\(\mathbb{W} = [-1;1]\)

Periode

\(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\)

Die Kosinusfunktion ist periodisch,
d. h. ihre Funktionswerte wiederholen
sich in regelmäßigen Abständen (\(2\pi\)).

Symmetrie

\(\cos(-x) = \cos(x)\)
Achsensymmetrie zur y-Achse

Nullstellen

\(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot \pi = -\frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{0} &= \frac{\pi}{2} + 0 \cdot \pi = \frac{\pi}{2}\\[5pt] x_{1} &= \frac{\pi}{2} + 1 \cdot \pi = \frac{3\pi}{2} \end{align*}\)

Relative Maxima

\(x_k = k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= (-1) \cdot 2\pi = -2\pi\\[5pt] x_{0} &= 0 \cdot 2\pi = 0\\[5pt] x_{1} &= 1 \cdot 2\pi = 2\pi \end{align*}\)

Relative Minima

\(x_k = \pi + k \cdot 2\pi \quad \text{mit } k \in \mathbb{Z}\)

Beispiele
\(\begin{align*} x_{-1} &= \pi + (-1) \cdot 2\pi = -\pi\\[5pt] x_{0} &= \pi + 0 \cdot 2\pi = \pi\\[5pt] x_{1} &= \pi + 1 \cdot 2\pi = 3\pi \end{align*}\)

Zusammenhang mit Sinuskurve

Die Kosinuskurve geht aus der Sinuskurve durch Verabschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach links
hervor. Mathematisch bedeutet das:

\(\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})\)

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Funktionsgleichung \(y = \cos(x)\)  
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\)  
Wertemenge \(\mathbb{W} = [-1;1]\)  
Periode \(2\pi\)  
Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse  
Nullstellen \(x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) \(k \in \mathbb{Z}\)
Relative Maxima
\(x_k = k \cdot 2\pi\)  
Relative Minima
\(x_k = \pi + k \cdot 2\pi\)  

Die Kosinuskurve geht aus der Sinuskurve durch Verabschiebung um \(\frac{\pi}{2}\) nach links hervor.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!