Kreis

Wenn die Erzieherin im Kindergarten auffordert, sich im Kreis aufzustellen, weiß jedes Kind sofort, was zu tun ist. Schon Kleinkinder können einfache geometrische Figuren wie Dreiecke, Vierecke und Kreise voneinander unterscheiden. In diesem Kapitel wollen wir unsere kindliche Vorstellung davon, was ein Kreis ist, durch einige Fachbegriffe und Formeln erweitern.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Wenn wir einen Kreis durch die Brille eines Mathematikers betrachten, sehen wir unendlich viele Punkte, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen:

Die Menge aller Punkte der Ebene, die von einem Punkt $M$ den gleichen Abstand $r$ haben, heißt Kreislinie oder einfach Kreis $\boldsymbol{k(M;r)}$ .

Abb. 1 / Kreis um $M$ im Abstand $r$

Erstaunlich: Obwohl ein Kreis aus unendlich vielen Punkten besteht, ist er durch die Angabe lediglich eines Punktes ( $M$ ) und einer Länge ( $r$ ) eindeutig bestimmt. Der Punkt $M$ gibt die Lage, die Länge $r$ die Größe des Kreises an.

Bezeichnungen

Mittelpunkt

Mittelpunkt

Punkt, von dem alle Punkte des Kreises den gleichen Abstand haben

Abb. 2 / Mittelpunkt $M$ eines Kreises

Radius und Durchmesser

Radius

Abstand vom Mittelpunkt zu einem Punkt der Kreislinie
Strecke vom Mittelpunkt zu einem Punkt der Kreislinie

$\Rightarrow$ Der Begriff Radius bezeichnet sowohl eine Länge als auch eine Strecke!

Abb. 3 / Radius $r$ eines Kreises

Durchmesser

Größtmöglicher Abstand zweier Punkte der Kreislinie
Durch den Mittelpunkt verlaufende Verbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie

$\Rightarrow$ Der Begriff Durchmesser bezeichnet sowohl eine Länge als auch eine Strecke!

Abb. 4 / Durchmesser $d$ eines Kreises

Zusammenhang zwischen Durchmesser und Radius

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius: $d = 2 \cdot r$ .

$\Rightarrow$ Der Radius ist halb so lang wie der Durchmesser: $r = \frac{1}{2} \cdot d$ .

Abb. 5 / Zusammenhang zwischen Durchmesser und Radius eines Kreises

Kreislinie und Kreisfläche

Kreislinie $\boldsymbol{k}$

$$ k(M;r) = \{ P \;\left\lvert\right.\; \overline{MP} = r \} $$

Die Kreislinie $k$ eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ entspricht der Menge aller Punkte $P$ , für die gilt: Der Abstand von $M$ zu $P$ ist gleich $r$ .

Abb. 6 / Kreislinie $k$

Kreisfläche $\boldsymbol{K}$

$$ K(M;r) = \{ P \;\left\lvert\right.\; \overline{MP} \leq r \} $$

Die Kreisfläche $K$ eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ entspricht der Menge aller Punkte $P$ , für die gilt: Der Abstand von $M$ zu $P$ ist kleiner oder gleich $r$ .

Abb. 7 / Kreisfläche $K$

Kreis

Statt Kreislinie oder Kreisfläche sagen wir meistens kurz Kreis, wenn aus dem Zusammenhang hervorgeht, welcher dieser beiden Begriffe gemeint ist.

Kreisinneres und Kreisäußeres

Kreisinneres $\boldsymbol{k_i}$

$$ k_i(M;r) = \{ P \;\left\lvert\right.\; \overline{MP} < r \} $$

Das Kreisinnere $k_i$ eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ entspricht der Menge aller Punkte $P$ , für die gilt: Der Abstand von $M$ zu $P$ ist kleiner als $r$ .

Abb. 8 / Kreisinneres $k_i$

Kreisäußeres $\boldsymbol{k_a}$

$$ k_a(M;r) = \{ P \;\left\lvert\right.\; \overline{MP} > r \} $$

Das Kreisäußere $k_a$ eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ entspricht der Menge aller Punkte $P$ , für die gilt: Der Abstand von $M$ zu $P$ ist größer als $r$ .

Abb. 9 / Kreisäußeres $k_a$

Kreis und Punkte

Randpunkt

Punkt, für den gilt: $\overline{MP} = r$ .

Abb. 10 / Randpunkt eines Kreises

Die mathematische Schreibweise $P \in k(M;r)$ (P ist Element von…) drückt aus, dass $P$ auf der Kreislinie $k$ liegt. Dementsprechend drückt $P \notin k(M;r)$ (P ist nicht Element von…) aus, dass $P$ nicht auf der Kreislinie $k$ liegt.

Es gibt zwei Arten von Punkten, die nicht auf der Kreislinie liegen:

Innerer Punkt

Punkt, für den gilt: $\overline{MP} < r$ .

Abb. 11 / Innerer Punkt eines Kreises

Äußerer Punkt

Punkt, für den gilt: $\overline{MP} > r$ .

Abb. 12 / Äußerer Punkt eines Kreises

Kreis und Geraden

Passante

Gerade, welche einen Kreis in keinem Punkt schneidet.

Abb. 13 / Passante

Tangente

Gerade, welche einen Kreis in einem Punkt schneidet.

Abb. 14 / Tangente

Sekante

Gerade, welche einen Kreis in zwei Punkten schneidet.

Abb. 15 / Sekante

Zentrale

Sekante, die durch den Mittelpunkt verläuft.

Abb. 16 / Zentrale

Sehne

Strecke, die zwei Punkte der Kreislinie miteinander verbindet; innerhalb eines Kreises gelegene Teil einer Sekante.

Abb. 17 / Sehne

Durchmesser

Längste Sehne; innerhalb eines Kreises gelegene Teil einer Zentrale.

Abb. 18 / Durchmesser

Formeln

Keine Kreisberechnung ohne $\pi$ !

Die Kreiszahl $\pi$ (gesprochen: Pi) ist eine nicht periodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen. Als Näherungswert wird häufig $3{,}14$ verwendet. Im Kapitel zur Kreiszahl $\pi$ erfahren wir, wie diese mathematische Konstante definiert ist und wie wir sie auf beliebig viele Stellen genau berechnen können.

Radius

$$ r = \frac{1}{2} \cdot d $$

Abb. 19 / Radius eines Kreises

Durchmesser

$$ d = 2 \cdot r $$

Abb. 20 / Durchmesser eines Kreises

Umfang

$$ \begin{align*} u &= 2 \pi \cdot r \\[5px] &= \pi \cdot d \end{align*} $$

Abb. 21 / Umfang eines Kreises

Flächeninhalt

$$ \begin{align*} A &= \pi \cdot r^2 \\[5px] &= \frac{\pi}{4} \cdot d^2 \end{align*} $$

Abb. 22 / Flächeninhalt eines Kreises

Kreisteile

Die Formeln für Kreisbogen, Kreisausschnitt, Kreisabschnitt und Kreisring befinden sich im Kapitel Kreisteile.