Flächeninhalt Kreis
Die Berechnung von Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt eines Kreises zählen zu den Standardaufgaben der Kreisberechnung. In diesem Kapitel schauen wir uns drei verschiedene Aufgabentypen zum Thema Flächeninhalt eines Kreises berechnen
an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
Flächeninhalt eines Kreises ist der Fachbegriff für die Größe der Kreisfläche.
$A$ eines Kreises Zur Kreisfläche gehören alle Punkte der Kreislinie und des Kreisinneren.
Flächeninhalt berechnen
Radius gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ A = \pi \cdot r^2 $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Flächeninhalt $A$ eines Kreises mit dem Radius $r = 3\ \textrm{cm}$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ A = \pi \cdot r^2 $$
Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \pi \cdot (3\ \textrm{cm})^2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= 28{,}27\ldots\ \textrm{cm}^2 \\[5px] &\approx 28{,}3\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Berechne den Flächeninhalt $A$ eines Kreises mit dem Radius $r = 1\ \textrm{m}$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ A = \pi \cdot r^2 $$
Wert für $\boldsymbol{r}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \pi \cdot (1\ \textrm{m})^2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= 3{,}141\ldots\ \textrm{m}^2 \\[5px] &\approx 3{,}14\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$
Durchmesser gegeben
Formel
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir eine Formel aus der Formelsammlung:
$$ A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 $$
In einigen Formelsammlungen ist zwar $A = \pi \cdot r^2$, aber nicht $A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2$ zu finden. Wer jedoch weiß, dass der Radius halb so lang ist wie der Durchmesser ($r = \frac{1}{2}d$), kann die Formel ganz einfach herleiten:
Herleitung
$$ \begin{align*} A &= \pi \cdot r^2 &&{\color{gray}{|\; r = \tfrac{1}{2}d}} \\[5px] \phantom{A} &= \pi \cdot \left(\tfrac{1}{2}d\right)^2 \\[5px] \phantom{A} &= \pi \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 \cdot d^2 \\[5px] \phantom{A} &= \pi \cdot \tfrac{1}{4} \cdot d^2 \\[5px] \phantom{A} &= \tfrac{\pi}{4} \cdot d^2 \end{align*} $$
Anleitung
Formel aufschreiben
Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Flächeninhalt $A$ eines Kreises mit dem Durchmesser $r = 10\ \textrm{cm}$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Formel aufschreiben
$$ A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 $$
Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \frac{\pi}{4} \cdot (10\ \textrm{cm})^2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= 78{,}53\ldots\ \textrm{cm}^2 \\[5px] &\approx 78{,}5\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Berechne den Flächeninhalt $A$ eines Kreises mit dem Durchmesser $r = 3{,}5\ \textrm{m}$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
Formel aufschreiben
$$ A = \frac{\pi}{4} \cdot d^2 $$
Wert für $\boldsymbol{d}$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \frac{\pi}{4} \cdot (3{,}5\ \textrm{m})^2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= 9{,}621\ldots\ \textrm{m}^2 \\[5px] &\approx 9{,}62\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$
Umfang gegeben
Formeln
Bei diesem Aufgabentyp brauchen wir zwei Formeln aus der Formelsammlung:
Formel 1
$$ u = 2\pi \cdot r $$
Formel nach $r$ umstellen
$$ \begin{align*} u &= 2\pi \cdot r &&{\color{gray}|\text{ Seiten vertauschen}} \\[5px] 2\pi \cdot r &= u &&{\color{gray}|:2\pi} \\[5px] r &= \frac{u}{2\pi} \end{align*} $$
Formel 2
$$ A = \pi \cdot r^2 $$
Anleitung
$\boldsymbol{r}$ berechnen
Formel aufschreiben
Wert für $u$ einsetzen
Ergebnis berechnen
$\boldsymbol{A}$ berechnen
Formel aufschreiben
Wert für $r$ einsetzen
Ergebnis berechnen
Beispiele
Berechne den Flächeninhalt $A$ eines Kreises mit dem Umfang $u = 6\ \textrm{cm}$.
Runde das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
$\boldsymbol{r}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ r = \frac{u}{2\pi} $$
Wert für $u$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \frac{6\ \textrm{cm}}{2\pi} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{r} = \frac{3\ \textrm{cm}}{\pi} $$
Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.
$\boldsymbol{A}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ A = \pi \cdot r^2 $$
Wert für $r$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \pi \cdot (\frac{3\ \textrm{cm}}{\pi})^2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= 2{,}86\ldots\ \textrm{cm}^2 \\[5px] &\approx 2{,}9\ \textrm{cm}^2 \end{align*} $$
Berechne den Flächeninhalt $A$ eines Kreises mit dem Umfang $u = 2\ \textrm{m}$.
Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.
$\boldsymbol{r}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ r = \frac{u}{2\pi} $$
Wert für $u$ einsetzen
$$ \phantom{r} = \frac{2\ \textrm{m}}{2\pi} $$
Ergebnis berechnen
$$ \phantom{r} = \frac{1\ \textrm{m}}{\pi} $$
Zwischenergebnisse werden in der Mathematik grundsätzlich nicht gerundet.
$\boldsymbol{A}$ berechnen
Formel aufschreiben
$$ A = \pi \cdot r^2 $$
Wert für $r$ einsetzen
$$ \phantom{A} = \pi \cdot (\frac{1\ \textrm{m}}{\pi})^2 $$
Ergebnis berechnen
$$ \begin{align*} \phantom{A} &= 0{,}318\ldots\ \textrm{m}^2 \\[5px] &\approx 0{,}32\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$
