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Krümmungsverhalten

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Krümmungsverhalten einer Funktion.

Für das Verständnis dieses Themas ist es erforderlich, dass du dich in der Differentialrechnung auskennst (d.h. Ableitungen berechnen kannst) und weißt, welche Bedeutung die 2. Ableitung einer Funktion hat.

Wiederholung: 2. Ableitung

Die zweite Ableitung hilft zu entscheiden, ob sich eine Kurve

  • im Uhrzeigersinn oder
  • im Gegenuhrzeigersinn

dreht, wenn wir uns im Koordinatensystem von links nach rechts bewegen.

Für \(f''(x) < 0\) gilt:
Der Funktionsgraph dreht sich im Uhrzeigersinn. Man sagt auch die Kurve ist

  • rechtsgekrümmt oder
  • konkav

Für \(f''(x) > 0\) gilt:
Der Funktionsgraph dreht sich im Gegenuhrzeigersinn. Man sagt auch die Kurve ist

  • linksgekrümmt oder
  • konvex

Die linke Kurve dreht sich im Uhrzeigersinn. Sie ist
> rechtsgekrümmt
> konkav

Die rechte Kurve dreht sich im Gegenuhrzeigersinn. Sie ist
> linksgekrümmt
> konvex

Merkhilfen

  • Wenn die zweite Ableitung negativ ist, ist die Funktion rechtsgekrümmt.
    Wenn die zweite Ableitung positiv ist, ist die Funktion linksgekrümmt.

  • Wenn die zweite Ableitung negativ ist: trauriger Smiley.
    Wenn sie positiv ist: fröhlicher Smiley.
    Wie der Mund vom Smiley so ist auch die Krümmung der Funktion.

  • "Konkav ist der Buckel vom Schaf."

Rechtsgekrümmt oder linksgekrümmt?

Rechtskrümmung

Für \(f''(x) < 0\) ist der Funktionsgraph rechtsgekrümmt.

Beispiel einer rechtsgekrümmten Funktion

\(f(x) = -x^2\)

\(f'(x) = -2x\)

\(f''(x) = -2 < 0\)

Die Funktion \(f(x) = -x^2\) ist
> rechtsgekrümmt (konkav)

Begründung:
Die 2. Ableitung ist immer kleiner Null.

Linkskrümmung

Für \(f''(x) > 0\) ist der Funktionsgraph linksgekrümmt.

Beispiel einer linksgekrümmten Funktion

\(f(x) = x^2\)

\(f'(x) = 2x\)

\(f''(x) = 2 > 0\)

Die Funktion \(f(x) = x^2\) ist
> linksgekrümmt (konvex)

Begründung:
Die 2. Ableitung ist immer größer Null.

Beispiel einer Funktion, die links- und rechtsgekrümmt ist

\(f(x) = x^3 - x^2\)

\(f'(x) = 3x^2 - 2x\)

\(f''(x) = 6x - 2\)

Wenn in der 2. Ableitung der Funktion ein \(x\) vorkommt, handelt es sich in der Regel um eine Funktion, die linksgekrümmte und rechtsgekrümmte Bereiche hat. Diese Bereiche oder Intervalle lassen sich berechnen, indem man überlegt, wo die 2. Ableitung kleiner (größer) Null ist.

Wann ist die 2. Ableitung kleiner Null?

\[\text{Ansatz: } 6x - 2 < 0\]

Die obige Ungleichung müssen wir jetzt nach \(x\) auflösen.

\[6x - 2 < 0 \quad |+2\]

\[6x < 2 \quad |:6\]

\[x < \frac{2}{6}\]

\[x < \frac{1}{3}\]

Daraus folgt:

\[\text{Für} \quad x < \frac{1}{3} \quad \text{ist die Funktion rechtsgekrümmt.}\]

Wann ist die 2. Ableitung größer Null?

\[\text{Ansatz: } 6x - 2 > 0\]

Die obige Ungleichung müssen wir jetzt nach \(x\) auflösen.

\[6x - 2 > 0 \quad |+2\]

\[6x > 2 \quad |:6\]

\[x > \frac{2}{6}\]

\[x > \frac{1}{3}\]

Daraus folgt:

\[\text{Für} \quad x > \frac{1}{3} \quad \text{ist die Funktion linksgekrümmt.}\]

Die Funktion \(f(x) = x^3-x^2\) ist
für \(x < \frac{1}{3}\) rechtsgekrümmt (konkav) und
für \(x > \frac{1}{3}\) linksgekrümmt (konvex).

Um den Übergang von konkav zu konvex zu verdeutlichen, wurde bei \(x = \frac{1}{3}\) eine gestrichelte Linie eingezeichnet.

In diesem Artikel haben wir gelernt, wie man mit Hilfe der 2. Ableitung das Krümmungsverhalten einer Funktion bestimmt. Das Krümmungsverhalten gibt Aufschluss darüber, in welchen Bereichen eine Funktion linksgekrümmt (konvex) bzw. rechtsgekrümmt (konkav) ist.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!