Kürzungszahl

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was die Kürzungszahl ist.

Notwendiges Vorwissen: Brüche kürzen

Die Zahl, durch die man Zähler und Nenner beim Kürzen dividiert,
heißt Kürzungszahl.

Im Zusammenhang mit der Kürzungszahl gibt es folgende vier Aufgabentypen:

a) Bruch kürzen mit gegebener Kürzungszahl

Kürze \(\frac{6}{9}\) mit 3.

Lösung

Zähler und Nenner durch gegebene Kürzungszahl dividieren

\[\frac{6: {\color{red}3}}{9 : {\color{red}3}} = \frac{2}{3}\]

b) Kürzungszahl berechnen

Der Bruch \(\frac{2}{8}\) wurde auf den Bruch \(\frac{1}{4}\) gekürzt.
Mit welcher Kürzungszahl wurde der Bruch gekürzt?

Lösung

Vorgehensweise 1: Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren

\(2:1 = {\color{red}2}\)

Vorgehensweise 2: Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren

\(8:4 = {\color{red}2}\)

c) Zähler des gekürzten Bruchs bestimmen

\[\frac{15}{27} = \frac{?}{9}\]

Lösung

1.) Großen Nenner durch kleinen Nenner dividieren (= Kürzungszahl)

\(27:9 = {\color{red}3}\)

2.) Gegebenen Zähler durch Kürzungszahl dividieren (= gesuchter Zähler)

\(15 : {\color{red}3} = 5\)

\(\Rightarrow \frac{15}{27} = \frac{5}{9}\)

d) Nenner des gekürzten Bruchs bestimmen

\[\frac{14}{18} = \frac{7}{?}\]

Lösung

1.) Großen Zähler durch kleinen Zähler dividieren (= Kürzungszahl)

\(14:7 = {\color{red}2}\)

2.) Gegebenen Nenner durch Kürzungszahl dividieren (= gesuchter Nenner)

\(18 : {\color{red}2} = 9\)

\(\Rightarrow \frac{14}{18} = \frac{7}{9}\)

Im Zusammenhang mit Bruchtermen (Brüche, die Variablen enthalten) spricht man statt von einer Kürzungszahl von einem Kürzungsfaktor. Die Berechnungen sind aber identisch.

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Bruchrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln findest du alles zum Thema Bruchrechnung:

Brüche \[\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
> Echter Bruch Zähler < Nenner
> Stammbruch Zähler = 1
> Zweigbruch Zähler > 1
> Unechter Bruch Zähler \(\geq\) Nenner
> Scheinbruch Zähler ist Vielfaches von Nenner
> Dezimalbruch Nenner = \(10^n\)
Brüche erweitern \[\frac{a}{n} = \frac{a \cdot {\color{red}p}}{n \cdot {\color{red}p}}\]
> Erweiterungszahl  
Brüche kürzen \[\frac{a\cancel{{\color{red}p}}}{n\cancel{{\color{red}p}}} = \frac{a}{n}\]
> Kürzungszahl  
Brüche gleichnamig machen  
> Gleichnamige Brüche \(=\) gleicher Nenner
> Ungleichnamige Brüche \(=\) unterschiedlicher Nenner
Kehrwert \[\frac{1}{x} \text{ bzw. } x^{-1}\]
Brüche addieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} + \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a+b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen

Brüche subtrahieren

a) Gleichnamige Brüche

\[\frac{a}{{\color{green}n}} - \frac{b}{{\color{green}n}} = \frac{a-b}{{\color{green}n}}\]

b) Ungleichnamige Brüche

\(\Rightarrow\) Brüche gleichnamig machen
Brüche multiplizieren \[\frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = \frac{a \cdot b}{m \cdot n}\]
Brüche dividieren \[\frac{a}{m} : \frac{b}{n} = \frac{a}{m} \cdot \frac{n}{b}\]
Doppelbruch \[\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
Brüche vergleichen  
Gleichheit von Brüchen \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} \neq \frac{c}{d}\)
Brüche vergleichen \(\frac{a}{b} > \frac{c}{d}\), \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) oder \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)
Brüche umwandeln  
Brüche umwandeln [6 Unterkapitel!]
Bruchterme  
Bruchterme [8 Unterkapitel!]

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!