Kurvendiskussion - Ganzrationale Funktion

In diesem Kapitel führen wir eine Kurvendiskussion an einer ganzrationalen Funktion durch.

Im Zentrum unserer Betrachtung ist die Funktion

\(f(x) = x^3-6x^2+8x\)

Zu allen betrachteten Fragestellungen gibt es auch einen eigenen Artikel:

  1. Definitionsbereich bestimmen
  2. Nullstellen berechnen
  3. y-Achsenabschnitt berechnen
  4. Verhalten im Unendlichen und Wertebereich
  5. Symmetrieverhalten
  6. Extremwerte berechnen
  7. Monotonieverhalten
  8. Krümmungsverhalten
  9. Wendepunkt und Wendetangente
  10. Graph zeichnen

Zunächst berechnen wir die ersten drei Ableitungen der Funktion. Um die Ableitungen einer ganzrationalen Funktion zu berechnen, braucht man lediglich die Potenzregel. Sie besagt:

\(f(x) = x^n \quad \rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}\)

Gegebene Funktion

\(f(x) = x^3-6x^2+8x\)

1. Ableitung

\(f'(x) = 3x^2-12x+8\)

2. Ableitung

\(f''(x) = 6x-12\)

3. Ableitung

\(f'''(x) = 6\)

1. Definitionsbereich

Der Definitionsbereich gibt eine Antwort auf die Frage:
"Welche x-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?"

Merke: Der Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion ist immer \(\mathbb{R}\).

Für unsere Aufgabe gilt demzufolge: \(D_f = \mathbb{R}\).

2. Nullstellen

Nullstellen sind jene \(x\)-Werte, die eingesetzt in die Funktion den Funktionswert Null liefern.

Ansatz: \(f(x) = 0\)

Wir müssen also überlegen, wann die Funktion gleich Null wird.

Durch Ausklammern von \(x\) können wir den Funktionsterm faktorisieren:

\(\begin{align*}
f(x) &= x^3-6x^2+8x\\
&= x \left(x^2-6x+8\right)
\end{align*}\)

Ansatz zur Berechnung der Nullstellen:
\(x \left(x^2-6x+8\right) = 0\)

Jetzt wenden wir den Satz vom Nullprodukt an:
Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist.

Der 1. Faktor ist \(x\). Der 1. Faktor ist gleich Null für \(x = 0\).
Die erste Nullstelle haben wir demnach bereits gefunden: \(x_1 = 0\).

Der 2. Faktor ist \((x^2-6x+8)\). Wann wird dieser Faktor gleich Null?
Ansatz: \(x^2-6x+8 = 0\)

Hierbei handelt es sich um eine quadratische Gleichung.
Quadratische Gleichungen lösen wir gewöhnlich mit Hilfe der Mitternachtsformel.

Die 2. und 3. Nullstelle berechnet sich demnach folgendermaßen:

\[x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a} =\frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2}\]

\[x_{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2\]

\[x_{3} = \frac{6 + 2}{2} = 4\]

Fazit

Unsere Funktion hat Nullstellen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 4\).

3. y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Funktionswert an der Stelle \(x=0\).

Ansatz: \(f(0)\)

Wir müssen also \(x = 0\) in die Funktion einsetzen.

\(f({\color{red}0}) = {\color{red}0}^3-6 \cdot {\color{red}0}^2+8 \cdot {\color{red}0} = 0\)

Der y-Achsenabschnitt ist bei \(y = 0\).

4. Verhalten im Unendlichen

Was passiert, wenn wir in unsere Funktion sehr große bzw. sehr kleine Zahlen einsetzen?

Für große Werte strebt die Funktion gegen "+ unendlich".

\[\lim_{x\to +\infty}\left(x^3-6x^2+8x\right) = \infty\]

Für kleine Werte strebt die Funktion gegen "- unendlich".

\[\lim_{x\to -\infty}\left(x^3-6x^2+8x\right) = -\infty\]

Der Wertebereich gibt eine Antwort auf die Frage:
"Welche y-Werte kann die Funktion annehmen?"

Wie gerade gezeigt wurde, kann die Funktion jeden Wert von \(-\infty\) bis \(+\infty\) annehmen.

Der Wertebereich der Funktion ist dementsprechend: \(W_f = \mathbb{R}\)

5. Symmetrie

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn gilt: \(f(-x) = f(x)\)

Punktssymmetrie zum Ursprung liegt vor, wenn gilt: \(f(-x) = -f(x)\)

Im ersten Schritt setzen wir "\(-x\)" in die Funktion

\(f(x) = x^3-6x^2+8x\)

ein:

\(f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x})^3-6 \cdot ({\color{red}-x})^2+8 \cdot ({\color{red}-x}) = -x^3-6x^2-8x\)

Danach analyisieren wir das Ergebnis. Es gilt:

\(-x^3-6x^2-8x \neq f(x)\)

\(-x^3-6x^2-8x \neq -f(x)\)

Fazit

Die Funktion ist weder zur y-Achse noch zum Ursprung symmetrisch.

6. Extrempunkte

Für einen Hochpunkt gilt: \(f'(x_0) = 0 \) und \(f''(x_0) < 0\)

Für einen Tiefpunkt gilt: \(f'(x_0) = 0 \) und \(f''(x_0) > 0\)

1.) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen

Um die Extremwerte zu berechnen, müssen wir die 1. Ableitung gleich Null setzen

\(f'(x) = 3x^2-12x+8 = 0\)

Wer genau hinsieht, stellt fest, dass es sich um eine quadratische Gleichung handelt. Quadratische Gleichungen lösen wir gewöhnlich mit Hilfe der Mitternachtsformel.

\[x_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3} = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{6} = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6}\]

\[{\color{red}x_1} = \frac{12 - 4\sqrt{3}}{6} = {\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}} \approx 0,85 \]

\[{\color{red}x_2} = \frac{12 + 4\sqrt{3}}{6} = {\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}} \approx 3,15\]

2.) Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen

Nun setzen wir die berechneten Werte in die 2. Ableitung

\(f''(x) = 6x-12\)

ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden:

\[f''({\color{red}x_1}) = f''\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right) = 6\cdot {\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}-12 = -4\sqrt{3} \approx -6,93 < 0\]

\[f''({\color{red}x_2}) = f''\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right) = 6\cdot {\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}-12 = 4\sqrt{3} \approx 6,93 > 0\]

Wir wissen jetzt, dass an der Stelle \(x_1\) ein Hochpunkt und an der Stelle \(x_2\) ein Tiefpunkt vorliegt.

3.) y-Koordinaten der Extrempunkte berechnen

Zu guter Letzt müssen wir noch die y-Werte der beiden Punkte berechnen.
Dazu setzen wir \(x_1\) bzw. \(x_2\) in die ursprüngliche (!) Funktion

\(f(x) = x^3-6x^2+8x\)

ein:

\[\begin{align*}f({\color{red}x_1}) &= f\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right) = \left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right)^3-6\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}\right)^2+8 \cdot {\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}} \\
&= {\color{blue}\frac{16\sqrt{3}}{9}} \approx 3,08\end{align*}\]

\[\begin{align*}f({\color{red}x_2}) &= f\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right) = \left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right)^3-6\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}\right)^2+8 \cdot {\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}} \\
&= {\color{blue}-\frac{16\sqrt{3}}{9}} \approx -3,08\end{align*}\]

Fazit

Der Hochpunkt hat die Koordinaten H \(\left({\color{red}\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}}|{\color{blue}\frac{16\sqrt{3}}{9}}\right)\).

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten T \(\left({\color{red}\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}}|{\color{blue}-\frac{16\sqrt{3}}{9}}\right)\).

7. Monotonieverhalten

Die Funktion f ist streng monoton zunehmend, wenn \(f'(x) > 0\) gilt.

Die Funktion f ist streng monoton abnehmend, wenn \(f'(x) < 0\) gilt.

Da wir gerade die Extremwerte berechnet haben, lässt sich leicht logisch erklären, in welchen Bereichen die Funktion steigt bzw. fällt.

  • Im Bereich \[\left]-\infty;\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}\right[\]-> streng monoton steigend, da die Funktion bis zum Hochpunkt steigt

  • Im Bereich \[\left]\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3};\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}\right[\]-> streng monoton fallend, da die Funktion zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt fällt

  • Im Bereich \[\left]\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3};\infty\right[\]-> streng monoton steigend, da die Funktion ab dem Tiefpunkt wieder steigt

Wer sich das nicht logisch erschließen kann oder die Extremwerte noch nicht berechnet hat, sollte eine Monotonietabelle nach folgendem Schema aufstellen.

  • Die Nullstellen der 1. Ableitung geben die Bereiche vor, die man untersuchen muss.
    -> der erste Bereich geht von "- unendlich" bis zur ersten Nullstelle der 1. Ableitung
    -> der zweite Bereich ist zwischen den beiden Nullstellen der 1. Ableitung
    -> der dritte Bereich geht von der zweiten Nullstelle der 1. Ableitung bis "+ unendlich"
  • Wähle aus jedem Intervall irgendeinen Wert, setze ihn in die 1. Ableitung ein und notiere das Vorzeichen in der zweiten Reihe.

\[\begin{array}{c|ccc}
& \left]-\infty;\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}\right[ & \left]\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3};\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}\right[ & \left]\frac{6 + 2\sqrt{3}}{3};\infty\right[ \\
\hline
f'(x) & + & - & + \\
& \text{s. m. steigend} & \text{s. m. fallend} & \text{s. m. steigend}
\end{array}\]

8. Krümmung

Der Graph ist linksgekrümmt, wenn \(f''(x) > 0\) gilt.

Der Graph ist rechtsgekrümmt, wenn \(f''(x) < 0\) gilt.

Wir müssen uns überlegen, wann die 2. Ableitung größer (bzw. kleiner Null) wird.

Ansatz: \(f''(x) = 6x-12 > 0\)

Ungleichung nach \(x\) auflösen

\(6x - 12 > 0\)

\(6x - 12 {\color{red}\: + \: 12} > {\color{red}+ \: 12}\)

\(6x > 12\)

\[\frac{6x}{{\color{red}6}} > \frac{12}{{\color{red}6}}\]

\(x > 2\)

Fazit

Für \(x > 2\) ist der Graph linksgekrümmt - entsprechend ist er für \(x < 2\) rechtsgekrümmt.

9. Wendepunkt und Wendetangente

Am Wendepunkt wechselt der Graph seine Krümmung.

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:

\(f''(x_0) = 0 \qquad \text{und} \qquad f'''(x_0) \neq 0\)

1.) Nullstelle der 2. Ableitung berechnen

Ansatz: \(f''(x) = 6x-12 = 0\)

\(6x - 12 = 0\)

\(6x - 12 {\color{red}\: + \: 12} = {\color{red}+ \: 12}\)

\(6x = 12\)

\[\frac{6x}{{\color{red}6}} = \frac{12}{{\color{red}6}}\]

\(x = 2\)

2.) Überprüfen, ob 3. Ableitung (für x = 2) ungleich Null ist

Wir setzen \(x = 2\) in die 3. Ableitung

\(f'''(x) = 6\)

ein

\(f'''(2) = 6 \neq 0\)

und stellen fest, dass die 3. Ableitung stets ungleich Null ist.

Demzufolge liegt hier auch wirklich ein Wendepunkt vor.

3.) y-Koordinate des Wendepunktes berechnen

Jetzt setzen wir \(x = 2\) in die ursprüngliche Funktion

\(f(x) = x^3-6x^2+8x\)

ein, um die y-Koordinate des Wendepunktes zu berechnen:

\(f({\color{red}2}) = {\color{red}2}^3-6\cdot {\color{red}2}^2+8 \cdot {\color{red}2} = {\color{blue}0}\)

Fazit

Der Wendepunkt hat die Koordinaten \(({\color{red}2}|{\color{blue}0})\).

Die Gleichung der Wendetangente lautet

\(t_w: \quad y = m \cdot (x - x_0) + y_0\)

Dabei sind \(x_0\) und \(y_0\) die Koordinaten des Wendepunktes.
\(m\) ist die Steigung der Tangente.

Da wir \(x_0\) und \(y_0\) eben berechnet haben, müssen wir lediglich noch die Steigung \(m\) ermitteln. Dazu setzen wir die x-Koordinate des Wendepunktes in die erste Ableitung

\(f'(x) = 3x^2-12x+8\)

ein:

\(m = f'({\color{red}2}) = 3 \cdot {\color{red}2}^2-12 \cdot {\color{red}2}+8 = {\color{green}-4}\)

Setzen wir unsere Ergebnisse in die Gleichung für die Wendetangente ein, so erhalten wir

\(t_w: \quad y = {\color{green}-4} \cdot (x - {\color{red}2}) + {\color{blue}0} = -4x + 8\)

10. Graph

Nullstellen
\(x_1 = 0\)
\(x_2 = 2\) (Wendepunkt)
\(x_3 = 4\)

Extrempunkte
Hochpunkt H (0,85 | 3,08)
Tiefpunkt T (3,16 | -3,08)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!