Mathebibel.de / Erklärungen / Analysis / Funktionen / Quadratische Funktionen / Lagebeziehung Parabel-Gerade

Lagebeziehung
Parabel - Gerade

In diesem Kapitel schauen wir uns an, welche Lagebeziehungen zwischen einer Parabel und einer Gerade bestehen können und wie man die Lagebeziehung rechnerisch ermittelt.

Die Gerade heißt Passante, wenn sie mit der Parabel keinen Punkt gemeinsam hat.

Die Gerade heißt Tangente, wenn sie mit der Parabel einen Punkt gemeinsam hat.

Die Gerade heißt Sekante, wenn sie mit der Parabel zwei Punkte gemeinsam hat.

Parabel-Gerade: Lagebeziehung bestimmen

Um die Lagebeziehung einer Parabel und einer Geraden zu bestimmen, solltest du dich mit dem Lösen quadratischer Gleichungen auskennen. Es lohnt sich, dieses Kapitel jetzt zu wiederholen.

Vorgehensweise

  1. Funktionsgleichungen gleichsetzen
  2. Gleichung in allgemeine Form bringen
  3. Gleichung nach \(x\) auflösen
Mögliche Lösungen \(f(x) = g(x)\)
1.) kein Schnittpunkt keine Lösung
[z. B. \(x = \sqrt{-2}\)]*
2.) Berührpunkt eine (zweifache) Lösung
[z. B. \(x_1 = x_2 = 7\)]
3.) zwei Schnittpunkte zwei (verschiedene) Lösungen
[z. B. \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\)]

*Wurzel einer negativen Zahl (in \(\mathbb{R}\)) nicht definiert!

Beispiel

Gegeben ist eine Parabel und eine Gerade mit folgenden Funktionsgleichungen:

\(f(x) = 2x^2 - 5x + 7\)

\(g(x) = 3x + 1\)

1.) Funktionsgleichungen gleichsetzen

\(\begin{align*}
f(x) &= g(x) \\
2x^2 - 5x + 7 &= 3x + 1
\end{align*}\)

2.) Gleichung in allgemeine Form bringen

\(2x^2 - 5x + 7= 3x + 1 \qquad |{\color{red}-1}\)

\(2x^2 - 5x + 7 {\color{red}\:-\:1}\ = 3x + 1 {\color{red}\:-\:1}\)

\(2x^2 - 5x + 6 = 3x \qquad |{\color{maroon}-3x}\)

\(2x^2 - 5x {\color{maroon}\:-\:3x} + 6 + 4 = 3x {\color{maroon}\:-\:3x}\)

\(2x^2 - 8x + 6 = 0\)

3.) Gleichung nach \(x\) auflösen

Bei \(2x^2 - 8x + 6 = 0\) handelt es sich um eine quadratische Gleichung,
die wir u.a. mit Hilfe der Mitternachtsformel oder der pq-Formel lösen können.

> Ausführlicher Rechenweg mit Mitternachtsformel (abc-Formel)
> Ausführlicher Rechenweg mit pq-Formel

Als Ergebnis erhalten wir

\(x_1 = 1\)

\(x_2 = 3\)

Es gibt zwei (verschiedene) Lösungen.
\(\Rightarrow\) Parabel und Gerade schneiden sich in \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\).

Falls nach den Schnittpunkten gefragt ist, müssen wir noch ein wenig weiterrechnen. Bislang haben wir nämlich nur die \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte berechnet. Die \(y\)-Koordinaten erhalten wir durch Einsetzen der \(x\)-Koordinaten in \(f(x)\) (oder \(g(x)\)):

\(f(x_1) = f({\color{red}1}) = 2 \cdot {\color{red}1}^2 - 5 \cdot {\color{red}1} + 7 = \phantom{1}{\color{blue}4} \quad \Rightarrow S_1({\color{red}1}|{\color{blue}4})\)

\(f(x_2) = f({\color{red}3}) = 2 \cdot {\color{red}3}^2 - 5 \cdot {\color{red}3} + 7 = {\color{blue}10} \quad \Rightarrow S_2({\color{red}3}|{\color{blue}10})\)

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Leseprobe: Quadratische Funktionen - Erklärungen, Aufgaben, Lösungen

Mehr zu quadratischen Funktionen

Im Zusammenhang mit quadratischen Funktionen gibt es einige Fragestellungen, die in Prüfungen immer wieder abgefragt werden. Aus diesem Grund empfiehlt es sich, die nachfolgenden Kapitel systematisch durchzuarbeiten. Viel Erfolg dabei!

Parabel zeichnen  
Parabel nach links oder rechts verschieben \(f(x) = (x-d)^2\)
Parabel nach oben oder unten verschieben \(f(x) = x^2 + c\)
Parabel strecken oder stauchen \(f(x) = ax^2\)
Punktprobe Liegt \(\text{P}\) auf \(\text{G}_f\)?
y-Achsenabschnitt berechnen \(x = 0\)
Nullstellen berechnen \(y = 0\)
Funktionsgleichung bestimmen \(f(x) = \dotsc\)
Quadratische Ergänzung \(x^2 +px + \left(\frac{p}{2}\right)^2-\left(\frac{p}{2}\right)^2\)
Scheitelpunktform berechnen \(f(x) = a(x-d)^2 + e\)
Scheitelpunkt berechnen \(S(x_s|y_s)\)
Faktorisierte Form \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
Lagebeziehungen  
Lagebeziehung Parabel-Parabel  
Lagebeziehung Parabel-Gerade  
Umkehrfunktion  
Umkehrfunktion bilden  
Aufgaben mit Lösungen  
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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!