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Laplace Entwicklungssatz

Wie man 2x2 Determinanten und 3x3 Determinanten berechnet, haben wir bereits kennengelernt. Hat man es jedoch mit größeren Determinanten zu tun, helfen uns diese Formeln nicht mehr weiter. Um beliebig große Determinanten zu berechnen, setzt man den sog. "Laplace'schen Entwicklungssatz" ein.

Der Laplace Entwicklungssatz basiert darauf, dass er eine Determinante auf die nächst kleine Determinante zurückführt. Zum Beispiel: Eine 4x4 Determinante wird auf eine 3x3 Determinante zurückgeführt. Diese 3x3 Determinante könnte man dann wieder mit Hilfe des Entwicklungssatzes auf die nächst kleinere Determinante (2x2 Determinante) zurückführen.

Eine Alternative zum Entwicklungssatz nach Laplace ist die Berechnung einer Determinante mit Hilfe des Gauß-Algorithmuses. Gerade für (sehr) große Determinanten eignet sich das Gauß-Verfahren besser, da der Rechenaufwand im Vergleich zum Laplace Entwicklungssatz geringer ist.

Du kannst übrigens auch mit deinem Casio Taschenrechner eine Determinante berechnen.

Mathematik Video

In diesem Mathe Video (15:09 min) wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt, wie man mit Hilfe des Laplace'schen Entwicklungssatzes eine Determinante berechnet.

Laplace Entwicklungssatz - Formel

Zur Berechnung einer Determinanten nach dem Laplace'schen Entwicklungssatz gibt es zwei Formeln. Die Formeln sehen auf den ersten Blick sehr abstrakt aus. Das untenstehende Beispiel sollte aber Klarheit schaffen!

Entwickelt man nach der i-ten Zeilen, so lautet die Formel

\[|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}\]

Entwickelt man nach der j-ten Spalten, so lautet die Formel

\[|A| = \sum_{i=1}^n a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot D_{ij}\]

Dabei ist \(a_{ij}\) das Schnittpunktelement, \((-1)^{i+j}\) der Vorzeichenfaktor und \(D_{ij}\) die Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte streicht.

Laplace Entwicklungssatz - Beispiel

Berechne die Determinante A mit Hilfe des Entwicklungssatzes von Laplace.

\(|A| = \begin{vmatrix}1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8\end{vmatrix}\)

Hinweis: Normalerweise würde man 3x3 Determinanten mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnen. Um den Laplace'schen Entwicklungssatz zu demonstrieren, eignet sich eine 3x3 Determinante jedoch hervorragend. Bedenke bitte, dass du für alle Determinanten, die eine größere Dimension als 3 haben, den Entwicklungssatz anwenden musst. Die Regel von Sarrus gilt nur für 3x3 Determinanten!

Zunächst musst du dir überlegen, nach welcher Zeile oder Spalte du entwickeln willst. Dabei ist es egal, für welche Zeile oder Spalte du dich entscheidest. Am Ende kommt immer dasselbe Ergebnis heraus! Praktisch ist es aber, wenn du eine Zeile (oder Spalte) wählst, die möglichst viele Nullen hat. Dadurch reduziert sich der Rechenaufwand erheblich. Da in unserem Beispiel keine Null vorhanden ist, suchen wir uns irgendeine Zeile oder Spalte heraus.

Im Folgenden wird die Determinante nach der ersten Zeile (\(i = 1\)) enwickelt.

\[|A| = \sum_{j=1}^3 a_{1j} \cdot (-1)^{1+j} \cdot D_{1j}\]

oder ohne Summenzeichen

\(|A| = a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot D_{11} + a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot D_{12} + a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot D_{13}\)

Im weiteren Verlauf besprechen wir jede Spalte in einem eigenen Abschnitt. Am Ende wird dann alles zusammengefasst.

1. Spalte

\(|A| = \begin{vmatrix}\bcancel{\colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}1}\)}} &\bcancel{3} &\bcancel{2} \\\bcancel{4} &{\color{blue}6} &{\color{blue}5} \\ \bcancel{7} &{\color{blue}9} & {\color{blue}8}\end{vmatrix} \qquad |A| = \begin{vmatrix}a_{\colorbox{yellow}{\(11\)}} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)

\(a_{11} \cdot (-1)^{1+1} \cdot D_{11} = \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}1}\)} \cdot (-1)^{\colorbox{yellow}{\(1+1\)}} \cdot \begin{vmatrix}{\color{blue}6} &{\color{blue}5} \\{\color{blue}9} &{\color{blue}8} \end{vmatrix} \)

  • \(a_{11}\): Schnittpunktelement der 1. Zeile und der 1. Spalte
  • \((-1)^{1+1}\): Vorzeichenfaktor (hier positiv, da der Exponent gerade ist)
  • \(D_{11}\): Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die 1-te Zeile und die 1-te Spalte streicht

2. Spalte

\(|A| = \begin{vmatrix}\bcancel{1} &\bcancel{\colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}3}\)}} &\bcancel{2} \\{\color{blue}4} &\bcancel{6} &{\color{blue}5} \\{\color{blue}7} &\bcancel{9} & {\color{blue}8}\end{vmatrix} \qquad |A| = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{\colorbox{yellow}{\(12\)}} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)

\(a_{12} \cdot (-1)^{1+2} \cdot D_{12} = \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}3}\)} \cdot (-1)^{\colorbox{yellow}{\(1+2\)}} \cdot \begin{vmatrix}{\color{blue}4} &{\color{blue}5} \\{\color{blue}7} &{\color{blue}8} \end{vmatrix} \)

  • \(a_{12}\): Schnittpunktelement der 1. Zeile und der 2. Spalte
  • \((-1)^{1+2}\): Vorzeichenfaktor (hier negativ, da der Exponent ungerade ist)
  • \(D_{12}\): Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die 1-te Zeile und die 2-te Spalte streicht

3. Spalte

\(|A| = \begin{vmatrix} \bcancel{1} &\bcancel{3} &\bcancel{\colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)}} \\{\color{blue}4} &{\color{blue}6} &\bcancel{5} \\{\color{blue}7} &{\color{blue}9} &\bcancel{8}\end{vmatrix} \qquad |A| = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{\colorbox{yellow}{\(13\)}} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\)

\(a_{13} \cdot (-1)^{1+3} \cdot D_{13} = \colorbox{RoyalBlue}{\({\color{white}2}\)} \cdot (-1)^{\colorbox{yellow}{\(1+3\)}} \cdot \begin{vmatrix}{\color{blue}4} &{\color{blue}6} \\{\color{blue}7} &{\color{blue}9} \end{vmatrix}\)

  • \(a_{13}\): Schnittpunktelement der 1. Zeile und der 3. Spalte
  • \((-1)^{1+3}\): Vorzeichenfaktor (hier positiv, da der Exponent gerade ist)
  • \(D_{13}\): Unterdeterminante, die man erhält, wenn man die 1-te Zeile und die 3-te Spalte streicht

Ergebnis

\(\begin{align*}
|A| &=
1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 6 & 5 \\ 9 & 8 \end{vmatrix} +
3 \cdot (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} +
2 \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} =\\
&= 1 \cdot (6 \cdot 8 - 9 \cdot 5) - 3 \cdot (4 \cdot 8 - 7 \cdot 5) + 2 \cdot (4 \cdot 9 - 7 \cdot 6) =\\
&= 1 \cdot (48 - 45) - 3 \cdot (32 - 35) + 2 \cdot (36 - 42) =\\
&= 1 \cdot 3 - 3 \cdot (-3) + 2 \cdot (-6) =\\
&= 3 + 9 - 12 =\\
&=0
\end{align*}\)

Zusammenfassung

Vereinfacht lässt sich der Laplace Entwicklungssatz auf die Formel

\(\text{Schnittpunktelement} \cdot \text{Vorzeichenfaktor} \cdot \text{Unterdeterminante}\)

reduzieren.

Tipp: Wähle eine Zeile oder Spalte, nach der du entwickeln willst, mit möglichst vielen Nullen. Das Schnittpunktelement ist infolgedessen gleich null und du sparst dir eine Menge Rechenarbeit.

Merkhilfe zum Vorzeichenfaktor

Durch den Faktor \((-1)^{i+j}\) entsteht für jede Determinante ein schachbrettartiges Muster. Man beginnt dabei oben links mit einem Plus-Zeichen und wechselt anschließend in den Zeilen (und Spalten) Minus und Plus ab.

\(|A| = \begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\a_{21} &a_{22} &a_{23} \\a_{31} &a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \qquad \rightarrow \qquad |A| = \begin{vmatrix}\colorbox{yellow}{\(+\)} &\colorbox{yellow}{\(-\)} &\colorbox{yellow}{\(+\)} \\ - & + & - \\ + & - & + \end{vmatrix}\)

Unser Beispiel vereinfacht sich dadurch zu

\(|A| =
1 \cdot (\colorbox{yellow}{\(+\)}1) \cdot \begin{vmatrix} 6 & 5 \\ 9 & 8 \end{vmatrix} +
3 \cdot (\colorbox{yellow}{\(-\)}1) \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} +
2 \cdot (\colorbox{yellow}{\(+\)}1) \cdot \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 0
\)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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