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Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren

Bevor du dich mit der linearen Abhängigkeit von Vektoren beschäftigst, solltest du dir das Kapitel über Linearkombination durchlesen.

Zwei Vektoren heißen linear abhängig, wenn es zwei Zahlen \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) gibt, die nicht beide Null sind, so dass gilt

\(\lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} = 0\)

Anders formuliert:

Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt,

\(\lambda_1\vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2} = \vec{0}\)

in der mindestens einer der Koeffizienten \(\lambda_1\) bzw. \(\lambda_2\) ungleich Null ist.

Lineare Abhängigkeit im \(\mathbb{R}^2\) - Beispiel

Gegeben sind die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\)

\(\vec{a}  = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}; \qquad \vec{b}  = \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix};\)

Verfahren 1

Zwei Vektoren sind im \(R^2\) genau dann linear abhängig, wenn sie Vielfache voneinander sind. Unser Rechenansatz lautet aus diesem Grund

\(\vec{a}  = \lambda \cdot \vec{b}\)

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix}  = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix}\)

Wenn es ein \(\lambda\) (ungleich Null!) gibt, das das Gleichungssystem löst, so sind die Vektoren linear abhängig.

\(\begin{align*}
1 &= \lambda \cdot  2 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 0,5\\
2 &= \lambda \cdot  4 \qquad \rightarrow \qquad \lambda = 0,5
\end{align*}\)

Da es ein \(\lambda\) (ungleich Null) gibt, das das Gleichungssystem löst, sind die Vektoren Vielfache voneinander und somit linear abhängig.

Verfahren 2

Im zweiten Verfahren untersuchen wir die Determinante, die sich aus den zwei Vektoren ergibt. Ist die entsprechende Determinante gleich Null, so sind die Vektoren linear abhängig.

\(|D|= \begin{vmatrix} 1 &  2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0\)

Da die Determinante gleich Null ist, sind die Vektoren linear abhängig.

Ps. Weißt du noch, wie man 2x2 Determinanten berechnet?

Eigenschaften von Vektoren im \(\mathbb{R}^2\)

  • 2 Vektoren sind im \(\mathbb{R}^2\) genau dann linear abhängig, wenn sie parallel sind.
  • 3 (oder mehr) Vektoren sind im \(\mathbb{R}^2\) stets linear abhängig.

Schauen wir uns die letzte Eigenschaft etwas genauer an und fragen uns:

Warum sind mehr als 2 Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) stets linear abhängig?

Der \(\mathbb{R}^2\) ist definiert als ein Vektorraum, der durch 2 linear unabhängige Vektoren aufgespannt wird. Diese zwei Vektoren nennt man Basis des Vektorraums. Meist verwendet man die sog. Standardbasis (kanonische Basis):

\(e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \qquad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix};\)

Mit Hilfe dieser Basis kann jeder (!) andere Vektor des \(\mathbb{R}^2\) als Linearkombination geschrieben werden.

Beispiel: \(2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)

Wir können uns also keinen dritten Vektor im \(\mathbb{R}^2\) ausdenken, der nicht als Linearkombination der beiden Basisvektoren geschrieben werden könnte. Daraus folgt, dass 3 (oder mehr) Vektoren im \(\mathbb{R}^2\) stets linear abhängig sind.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!