Lineare Abnahme

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was lineare Abnahme ist.

Für lineare Abnahme ist eine konstante Abnahme
in gleichen Zeitspannen charakteristisch.

Lineare Abnahme wird durch lineare Funktionen beschrieben.

Beispiel

Wir haben uns von Mama 40 € geliehen.
Jeden Monat zahlen wir 5 € zurück, d. h.
unsere Schulden nehmen konstant um 5 € ab.

Zu Beginn (im Zeitpunkt 0) haben wir 40 € Schulden. Danach gilt:

1. Monat: 35 € (= 40 € - 5 €)
2. Monat: 30 € (= 35 € - 5 €)
3. Monat: 25 € (= 30 € - 5 €)
...

Mathematisch betrachtet handelt es sich dabei um eine Zuordnung:
Jedem Monat wird ein Schuldenstand eindeutig zugeordnet.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
\text{Monat } x & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
\text{Schulden } y & 40 & 35 & 30 & 25 \\
\end{array}\)

Mit Hilfe der obigen Wertetabelle können wir einen Graphen zeichnen.



Die Abbildung zeigt den Graphen der

- Zuordnung mit der Zuordnungsvorschrift:
   \(x \longmapsto -5x + 40\)

- Funktion mit der Funktionsgleichung:
   \(f(x) = -5x + 40\)

Wir erinnern uns:

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Bei Aufgaben, die eine lineare Abnahme betreffen, haben wir es mit fallenden Geraden zu tun.

Lineare Abnahme: Darstellungsform

Statt \(f(x)\) schreibt man im Zusammenhang mit Abnahme häufig \(B(t)\).
\(B(t)\) ist eine Funktion, die den Bestand \(B\) in Abhängigkeit der Zeit \(t\) ausdrückt.

Im Folgenden lernen wir zwei Möglichkeiten kennen, um den Bestand \(B\) zu berechnen.

a) Rekursive Darstellung

Rekursiv bedeutet „auf bekannte Werte zurückgehend“: Um zum Beispiel \(B(3)\) zu berechnen, müssen wir \(B(2)\) kennen. Um \(B(2)\) zu berechnen, müssen wir \(B(1)\) kennen - und um \(B(1)\) zu berechnen, müssen wir \(B(0)\) kennen.

Lineare Abnahme: Rekursive Darstellung

\(B(t+1) = B(t) + {\color{red}m} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{red}m < 0}\)

Beispiel

Nach einer Geburtstagparty hat Otto einen Blutalkoholgehalt von 1,2 ‰.
Pro Stunde verringert sich sein Blutalkoholgehalt um 0,2 ‰.

Auf wie viel Promille sinkt der Blutalkoholgehalt in 3 Stunden?

Die dazugehörige rekursive Funktionsgleichung ist \(B(t+1) = B(t) {\color{red}\; - \; 0,2}\).

\(B(0) = 1,2\)
\(B(1) = B(0) - 0,2 = 1,2 - 0,2 = 1,0\)
\(B(2) = B(1) - 0,2 = 1,0 - 0,2 = 0,8\)
\(B(3) = B(2) - 0,2 = 1,0 - 0,2 = 0,6\)

Nach 3 Stunden hat Otto noch 0,6 ‰.

b) Explizite Darstellung

Mit Hilfe der expliziten Darstellung ist es möglich, jeden Funktionswert sofort auszurechnen.

Lineare Abnahme: Explizite Darstellung

\(B(t) = {\color{red}m} \cdot t + b \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{red}m < 0}\)

Beispiel

Nach einer Geburtstagparty hat Otto einen Blutalkoholgehalt von 1,2 ‰.
Pro Stunde verringert sich sein Blutalkoholgehalt um 0,2 ‰.

Auf wie viel Promille sinkt der Blutalkoholgehalt in 3 Stunden?

Die dazugehörige explizite Funktionsgleichung ist \(B(t) = {\color{red}-0,2} \cdot t + 1,2\).

\(B(3) = -0,2 \cdot 3 + 1,2 = 0,6\)

Nach 3 Stunden hat Otto noch 0,6 ‰.

Lineare Abnahme: Änderungsrate

Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Messgröße G beschreibt das Ausmaß der Veränderung von G in einem bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer des Zeitraums.

Der Zeitraum zwischen zwei Zeitpunkten \(t_1\) und \(t_2\) ist \(\Delta t = t_2 - t_1\).
\(\Delta\) (Delta) ist das mathematische Zeichen für eine Differenz.

a) Absolute Änderungsrate

Die absolute Abnahme eines Bestands bezeichnet man als absolute Änderungsrate \(\Delta B(t)\).

Die konkrete Änderung eines Bestands berechnet sich zu \(\Delta B(t) = B(t+1) - B(t)\).

Herleitung der absoluten Änderungsrate für lineare Abnahme

\(\begin{align*}
\Delta B(t)
&= B(t+1) - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t+1) = B(t) + m \text{ (= Rekursive Darstellung)}}\\
&= B(t) + m - B(t) &&{\color{gray}|\, B(t) - B(t) = 0}\\
&= m
\end{align*}\)

Lineare Abnahme: Absolute Änderungsrate

\(\Delta B(t) = {\color{red}m} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{red}m < 0}\)

\(\Rightarrow\) Die absolute Änderungsrate \(\Delta B(t)\) ist konstant.

b) Relative Änderungsrate

Die relative Änderungsrate setzt die Änderung des Bestands mit dem Anfangsbestand in Beziehung.

Lineares Wachstum: Relative Änderungsrate

\(\frac{\Delta B(t)}{B(t)} = \frac{{\color{red}m}}{B(t)} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text{mit } {\color{red}m < 0}\)

Handelt es sich um lineare Abnahme?

In vielen Aufgaben ist eine Wertetabelle gegeben und man soll überprüfen, ob sie einen
linearen Zusammenhang abbildet. Zur Überprüfung eignet sich folgende Eigenschaft:

\(B(t+1) - B(t) = {\color{red}m} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \text{mit } {\color{red}m < 0}\)

Die Differenz zweier Folgeglieder der Folge ist stets gleich.

Beispiel

\(\begin{array}{r|r|r|r|r}
t & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
B(t) & 20 & 17 & 14 & 11 \\
\end{array}\)

\(B(1) - B(0) = 17 - 20 = -3\)
\(B(2) - B(1) = 14 - 17 = -3\)
\(B(3) - B(2) = 11 - 14 = -3\)

Damit haben wir gezeigt, dass \(B(t)\) linear abnimmt.

Lineare und exponentielle Abnahme

Zwischen linearer und exponentieller Abnahme gibt es einige interessante Unterschiede:

  Lineare Abnahme Exponentielle Abnahme
Charakteristikum Konstante Abnahme Konstante prozentuale Abnahme
Beschreibung durch Lineare Funktionen Exponentialfunktionen
Graph Fallende Gerade Fallende Exponentialkurve
Rekursive Darstellung \(B(t+1) = B(t) + {\color{red}m}\) \(B(t+1) = B(t) \cdot {\color{red}q}\)
Explizite Darstellung \(B(t) = {\color{red}m} \cdot t + b\) \(B(t) = B(0) \cdot {\color{red}q}^t\)
Änderungsrate
(Abnahmerate)
\(\Delta B(t) = {\color{red}m}\)
\(\Rightarrow\) konstant
\(\Delta B(t) = B(t) \cdot ({\color{red}q} - 1)\)
\(\Rightarrow\) proportional zum aktuellen Bestand
  ...mit \({\color{red}m < 0}\) ...mit \({\color{red}0 < q < 1}\)
Beispiel - Abbau von Alkohol im Blut

- Radioaktiver Zerfall

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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!