Lage zweier Geraden (Lineare Funktionen)
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Lage zweier Geraden bestimmt.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Lineare Funktionen
Einordnung
Bei den vorangegangenen Themen ging es immer nur um eine lineare Funktion. Jetzt ist es an der Zeit, dass wir uns mit zwei linearen Funktionen beschäftigen. In diesem Zusammenhang müssen wir uns fragen, wie sich zwei Geraden zueinander verhalten können. Man spricht in diesem Zusammenhang von der Lage zweier Geraden
oder der Lagebeziehung Gerade-Gerade
.
Lage zweier Geraden bestimmen
Um die Lage zweier Geraden zu bestimmen, müssen wir die Funktionsgleichungen miteinander vergleichen. Es gibt drei mögliche Lagen:
Identische Geraden
Wenn die beiden Funktionsgleichungen sowohl in ihrer Steigung als auch in ihrem $y$-Achsenabschnitt übereinstimmen, sind die beiden Geraden identisch.
Parallele Geraden
Wenn die beiden Funktionsgleichungen zwar in ihrer Steigung, nicht jedoch in ihrem $y$-Achsenabschnitt übereinstimmen, sind die Geraden parallel.
Sich schneidende Geraden
Wenn die beiden Funktionsgleichungen eine unterschiedliche Steigung besitzen, schneiden sich die beiden Geraden in einem Schnittpunkt.
Sonderfall: Senkrechte Geraden
Gilt
$$ m_g \cdot m_h = -1 $$
stehen die Geraden $g$ und $h$ aufeinander senkrecht (d. h. $\alpha = 90^\circ$).
Dabei ist $m_g$ die Steigung der Gerade $g$ und $m_h$ die Steigung von $h$.
Statt senkrechte Geraden
sagt man oft auch orthogonale Geraden
.
Zusammenfassung
Seien
$g\colon~y = ax + b$ und
$h\colon~y = cx + d$
die Funktionsgleichungen zweier linearer Funktionen, dann gilt:
| Bedingung | Bedeutung | Erklärung |
|---|---|---|
$a = c$ UND $b = d$ | $g = h$ | Geraden sind identisch |
$a = c$, aber $b \neq d$ | $g \parallel h$ | Geraden verlaufen parallel zueinander |
$a \neq c$ | $g \cap h = \{S\}$ | Geraden schneiden sich in einem Schnittpunkt |
| Sonderfall | ||
$a \cdot c = -1$ | $g \perp h$ | Geraden stehen senkrecht aufeinander |
Mit dem Wissen, das wir uns in diesem Kapitel angeeignet haben, können wir die Lage zweier Geraden bestimmen, ohne auch nur eine einzige Rechnung durchzuführen.
