Punktprobe (Lineare Funktionen)
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man eine Punktprobe bei linearen Funktionen durchführt.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Lineare Funktionen
Einordnung
Wir wollen wissen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer linearen Funktion liegt.
Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben, ist die Sache ziemlich einfach:
Wir erkennen, dass der Punkt $\text{P}_1$
(im Gegensatz zum Punkt $\text{P}_2$)
auf der Gerade liegt.
Schwieriger wird es, wenn wir die Fragestellung durch Rechnung lösen wollen.
Bei der Punktprobe wird rechnerisch entschieden, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt.
Anleitung
Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen
Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist
zu 2)
Ist die Gleichung erfüllt (z. B. $5 = 5$), liegt der Punkt auf der Gerade.
Ist die Gleichung nicht erfüllt (z. B. $5 = 7$), liegt der Punkt nicht auf der Gerade.
Beispiele
Überprüfe, ob der Punkt $\text{P}({\color{red}-3}|{\color{blue}-5})$ auf dem Graphen der linearen Funktion mit der Funktionsgleichung ${\color{blue}y} = 2{\color{red}x} - 4$ liegt.
Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen
Wir setzen für $x$ die $x$-Koordinate und für $y$ die $y$-Koordinate des Punktes ein:
$$ {\color{blue}-5} = 2 \cdot ({\color{red}-3}) - 4 $$
Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist
$$ -5 = -10 $$
Die Gleichung ist nicht erfüllt, weshalb $\text{P}$ nicht auf der Gerade liegt.
Überprüfe, ob der Punkt $\text{P}({\color{red}5}|{\color{blue}6})$ auf dem Graphen der linearen Funktion mit der Funktionsgleichung ${\color{blue}y} = 2{\color{red}x} - 4$ liegt.
Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen
Wir setzen für $x$ die $x$-Koordinate und für $y$ die $y$-Koordinate des Punktes ein:
$$ {\color{blue}6} = 2 \cdot {\color{red}5} - 4 $$
Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist
$$ 6 = 6 $$
Die Gleichung ist erfüllt, weshalb $\text{P}$ auf der Gerade liegt.
Fehlende Koordinate eines Punktes auf der Gerade berechnen
In manchen Aufgabenstellungen ist die Gleichung einer Gerade $g\colon y = mx + n$ und eine Koordinate, also entweder die $x$- oder die $y$-Koordinate eines Punktes gegeben. Die fehlende Koordinate soll dann so bestimmt werden, dass der Punkt auf der Gerade liegt.
y-Koordinate gesucht
$\boldsymbol{x}$-Koordinate in Funktionsgleichung einsetzen
Zusammenrechnen
Gegeben ist die Gleichung einer Gerade: $g\colon y = 4x + 2$.
Bestimme die fehlende Koordinate des Punktes $P({\color{red}1}|?)$, so dass $P$ auf $g$ liegt.
$\boldsymbol{x}$-Koordinate in Funktionsgleichung einsetzen
$$ y = 4 \cdot {\color{red}1} + 2 $$
Zusammenrechnen
$$ {\fcolorbox{blue}{}{$y = {\color{blue}6}$}} $$
$\Rightarrow$ Der Punkt $P({\color{red}1}|{\color{blue}6})$ liegt auf der Gerade $g\colon y = 4x + 2$.
x-Koordinate gesucht
$\boldsymbol{y}$-Koordinate in Funktionsgleichung einsetzen
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
Gegeben ist die Gleichung einer Gerade: $g\colon y = 4x + 2$.
Bestimme die fehlende Koordinate des Punktes $P(?|{\color{blue}6})$, so dass $P$ auf $g$ liegt.
$\boldsymbol{y}$-Koordinate in Funktionsgleichung einsetzen
$$ {\color{blue}6} = 4x + 2 $$
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} &6 = 4x + 2 &&|\, {\color{red}-4x} \\[5px] &6 {\color{red} \: - \: 4x} = 4x {\color{red} \: - \: 4x} + 2 \\[5px] &6 -4x = 2 &&|\, {\color{orange}-6} \\[5px] &6 {\color{orange} \: - \: 6} -4x = 2 {\color{orange} \: - \: 6} \\[5px] &-4x = -4 &&|\, :({\color{red}-4}) \\[5px] &\frac{-4x}{{\color{red}-4}} = \frac{-4}{{\color{red}-4}} \\[5px] &{\fcolorbox{red}{}{$x = {\color{red}1}$}} \end{align*} $$
$\Rightarrow$ Der Punkt $P({\color{red}1}|{\color{blue}6})$ liegt auf der Gerade $g\colon y = 4x + 2$.
