Punktprobe
(Lineare Funktionen)

In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man die Punktprobe bei linearen Funktionen durchführt. Doch was versteht man überhaupt unter einer Punktprobe?

Bei der Punktprobe wird rechnerisch entschieden,
ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt.

Ist der Graph einer linearen Funktion gegeben, ist die Sache ziemlich einfach:

Wir erkennen, dass der Punkt \(\text{P}_2\)
(im Gegensatz zum Punkt \(\text{P}_1\))
auf der Geraden liegt.

Schwieriger ist es, wenn nur die Funktionsgleichung einer Funktion und die Koordinaten einiger Punkte gegeben sind. Dann sind wir nämlich gezwungen eine Punktprobe durchzuführen.

Vorgehensweise

  1. Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen
  2. Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist

Ist die Gleichung erfüllt (z.B. \(5 = 5\)), liegt der Punkt auf der Geraden.
Ist die Gleichung nicht erfüllt (z.B. \(5 = 7\)), liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Punktprobe - Beispiel 1

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion

\({\color{blue}y} = 2{\color{red}x} - 4\)

Überprüfe, ob der Punkt \(\text{P}_1({\color{red}-3}|{\color{blue}-5})\) auf der Geraden liegt.

1.) Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen

Für \(x\) setzen wir die \(x\)-Koordinate des Punktes ein, für \(y\) die \(y\)-Koordinate des Punktes.

\({\color{blue}-5} = 2 \cdot ({\color{red}-3}) - 4\)

2.) Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist

\(-5 = -10\)

Die Gleichung ist nicht erfüllt, weshalb \(\text{P}_1\) nicht auf der Gerade liegt.

Punktprobe - Beispiel 2

Gegeben ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion

\({\color{blue}y} = 2{\color{red}x} - 4\)

Überprüfe, ob der Punkt \(\text{P}_2({\color{red}5}|{\color{blue}6})\) auf der Geraden liegt.

1.) Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen

Für \(x\) setzen wir die \(x\)-Koordinate des Punktes ein, für \(y\) die \(y\)-Koordinate des Punktes.

\({\color{blue}6} = 2 \cdot {\color{red}5} - 4\)

2.) Prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist

\(6 = 6\)

Die Gleichung ist erfüllt, weshalb \(\text{P}_2\) auf der Gerade liegt.

Fehlende Koordinate eines Punktes
auf der Geraden berechnen

In manchen Aufgabenstellungen ist die Gleichung einer Geraden \(g:~~y = mx + n\) und eine Koordinate (also entweder die \(x\)- oder die \(y\)-Koordinate) eines Punktes gegeben.
Die fehlende Koordinate soll dann so bestimmt werden, dass der Punkt auf der Geraden liegt.

Ist die x-Koordinate gegeben, geht man folgendermaßen vor:

  1. \(x\) in Gleichung einsetzen
  2. Zusammenrechnen

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung einer Geraden: \(g:~~y = 4x + 2\).

Bestimme die fehlende Koordinate des Punktes \(P({\color{red}1}|?)\), so dass \(P\) auf \(g\) liegt.

1.) \(x\) in Gleichung einsetzen

 \(y = 4 \cdot {\color{red}1} + 2\)

2.) Zusammenrechnen

\({\fcolorbox{blue}{}{\(y = {\color{blue}6}\)}}\)

\(\Rightarrow\) Der Punkt \(P({\color{red}1}|{\color{blue}6})\) liegt auf der Geraden \(g:~~y = 4x + 2\).

Ist die y-Koordinate gegeben, geht man folgendermaßen vor:

  1. \(y\) in Gleichung einsetzen
  2. Gleichung nach \(x\) auflösen

Beispiel

Gegeben ist die Gleichung einer Geraden: \(g:~~y = 4x + 2\).

Bestimme die fehlende Koordinate des Punktes \(P(?|{\color{blue}6})\), so dass \(P\) auf \(g\) liegt.

1.) \(y\) in Gleichung einsetzen

\({\color{blue}6} = 4x + 2\)

2.) Gleichung nach \(x\) auflösen

\(6 = 4x + 2 \quad |{\color{red}-4x}\)

\(6 {\color{red} \: - \: 4x} = 4x {\color{red} \: - \: 4x} + 2\)

\(6 -4x = 2 \quad |{\color{orange}-6}\)

\(6 {\color{orange} \: - \: 6} -4x = 2 {\color{orange} \: - \: 6}\)

\(-4x = -4 \quad |:({\color{red}-4})\)

\[\frac{-4x}{{\color{red}-4}} = \frac{-4}{{\color{red}-4}}\]

\({\fcolorbox{red}{}{\(x = {\color{red}1}\)}}\)

\(\Rightarrow\) Der Punkt \(P({\color{red}1}|{\color{blue}6})\) liegt auf der Geraden \(g:~~y = 4x + 2\).

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Mehr zu linearen Funktionen

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
> Steigungsdreieck
> Steigungsformel
> Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
> Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
> Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden
Aufgaben mit Lösungen
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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!