Schnittpunkt berechnen (Lineare Funktionen)
In diesem Kapitel lernen wir, den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Funktion?
- Lineare Funktionen
- Lage zweier Geraden
Voraussetzung
Ein Schnittpunkt existiert nur, wenn die beiden gegebenen Geraden eine unterschiedliche Steigung besitzen.
$$ g\colon~y = {\color{red}2}x + 1 $$
$$ h\colon~y = {\color{red}2}x + 3 $$
Die Geraden besitzen dieselbe Steigung.$\Rightarrow$ Es existiert kein Schnittpunkt.
$$ g\colon~y = {\color{green}2}x + 1 $$
$$ h\colon~y = {\color{green}4}x + 3 $$
Die Geraden besitzen eine unterschiedliche Steigung.$\Rightarrow$ Es existiert ein Schnittpunkt.
Anleitung
Wenn die Voraussetzung erfüllt ist, lässt sich der Schnittpunkt so berechnen:
Funktionsgleichungen gleichsetzen
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$\boldsymbol{x}$ in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um $\boldsymbol{y}$ zu berechnen
Ergebnis aufschreiben
zu 1)
Bei den beiden Funktionsgleichungen handelt es sich um ein lineares Gleichungssystem. Zur Lösung des linearen Gleichungssystem verwenden wir das Gleichsetzungsverfahren.
zu 2)
Hauptkapitel: Äquivalenzumformungen
zu 3)
Unabhängig davon, in welche der beiden Gleichungen wir den berechneten $x$-Wert einsetzen, erhalten wir für $y$ dasselbe Ergebnis.
Beispiele
Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden $y = \frac{1}{2}x - 1$ und $y = -2x - 6$.
Funktionsgleichungen gleichsetzen
$$ \frac{1}{2}x - 1 = -2x - 6 $$
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} \frac{1}{2}x - 1 &= -2x - 6 &&|\, {\color{red}+2x} \\[5px] \frac{1}{2}x {\color{red}\: + \: 2x} - 1 &= -2x {\color{red}\: + \: 2x} - 6 \\[5px] 2{,}5x - 1 &= - 6 &&|\, {\color{orange}+1} \\[5px] 2{,}5x - 1 {\color{orange}\: + \: 1} &= - 6 {\color{orange}\: + \: 1} \\[5px] 2{,}5x &= -5 &&|\, {\color{red}:2{,}5} \\[5px] \frac{2{,}5x}{{\color{red}2{,}5}} &= \frac{-5}{{\color{red}2{,}5}} \\[5px] x &= {\colorbox{yellow}{$-2$}} \end{align*} $$
$\boldsymbol{x}$ in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um $\boldsymbol{y}$ zu berechnen
Wir setzen $x = -2$ in die erste Gleichung ein
$$ \begin{align*} y &= \frac{1}{2}x - 1 \\[5px] &= \frac{1}{2} \cdot (-2) - 1 \\[5px] &= {\colorbox{orange}{$-2$}} \end{align*} $$
Ergebnis aufschreiben
Die beiden Geraden
$$ y = \frac{1}{2}x - 1 $$
$$ y = -2x - 6 $$
schneiden sich im Punkt $S({\colorbox{yellow}{$-2$}}|{\colorbox{orange}{$-2$}})$.
Graphische Darstellung
Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden $y = -3x + 3$ und $y = 3x - 9$.
Funktionsgleichungen gleichsetzen
$$ -3x + 3 = 3x - 9 $$
Gleichung nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$$ \begin{align*} -3x + 3 &= 3x - 9 &&|\, {\color{red}-3x} \\[5px] -3x {\color{red}\: - \: 3x} + 3 &= 3x {\color{red}\: - \: 3x} - 9 \\[5px] -6x + 3 &= - 9 &&|\, {\color{orange}-3} \\[5px] -6x + 3 {\color{orange}\: - \: 3} &= - 9 {\color{orange}\: - \: 3} \\[5px] -6x &= -12 &&|\, {\color{red}:(-6)} \\[5px] \frac{-6x}{{\color{red}-6}} &= \frac{-12}{{\color{red}-6}} \\[5px] x &= {\colorbox{yellow}{$2$}} \end{align*} $$
$\boldsymbol{x}$ in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, um $\boldsymbol{y}$ zu berechnen
Wir setzen $x = 2$ in die zweite Gleichung ein
$$ y = 3 \cdot 2 - 9 = {\colorbox{orange}{$-3$}} $$
Ergebnis aufschreiben
Die beiden Geraden
$$ y = -3x + 3 $$
$$ y = 3x - 9 $$
schneiden sich im Punkt $S({\colorbox{yellow}{$2$}}|{\colorbox{orange}{$-3$}})$.
Graphische Darstellung
