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Schnittwinkel berechnen
(Lineare Funktionen)

In diesem Kapitel lernen wir, den Schnittwinkel zweier Geraden zu berechnen.

Voraussetzung

Ein Schnittwinkel existiert nur, wenn die beiden gegebenen Geraden eine unterschiedliche Steigung besitzen. Dies ist nämlich die Voraussetzung dafür, dass sich die Geraden schneiden. Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel über die Lagen zweier Geraden.

Beispiel 1

\(g:\: y = {\color{red}2}x + 1\)
\(h:\: y = {\color{red}2}x + 3\)
\(\Rightarrow\) Die Geraden besitzen dieselbe Steigung.
\(\phantom{\Rightarrow}\) Es existiert kein Schnittwinkel.

Beispiel 2

\(g:\: y = {\color{green}2}x + 1\)
\(h:\: y = {\color{green}4}x + 3\)
\(\Rightarrow\) Die Geraden besitzen eine unterschiedliche Steigung.
\(\phantom{\Rightarrow}\) Es existiert ein Schnittwinkel.

Wir können festhalten:

Voraussetzung für das Vorhandensein eines Schnittwinkels ist, dass die beiden Funktionsgleichungen eine unterschiedliche Steigung besitzen.

Was ist der Schnittwinkel?

Gegeben sind zwei Geraden,
die sich in einem Punkt schneiden.

Beim Schnitt zweier Geraden entstehen im Allgemeinen vier Schnittwinkel, von denen je zwei gegenüberliegende gleich groß sind.

Als Schnittwinkel wird meist der kleinere Winkel (im Beispiel: \(\alpha\)) bezeichnet.

Zusatzinformation

Da \(\alpha\) und \(\beta\) Nebenwinkel sind, gilt:
\(\alpha + \beta = 180°\).

Ist einer der beiden Winkel bekannt, lässt sich der andere Winkel ohne Probleme berechnen:
\(\Rightarrow \alpha = 180° - \beta\)
\(\Rightarrow \beta = 180° - \alpha\)

Wie berechnet man den Schnittwinkel zweier Geraden?

Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels lautet

\[\tan \alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|\]

\(\tan\) steht für Tangens.
\(m_1\) die Steigung der Geraden \(g\) und \(m_2\) die Steigung der Geraden \(h\).

Die senkrechten Striche heißen Betragsstriche.
Den Betrag einer Zahl erhält man durch Weglassen des Vorzeichens.

Beispiel

\(|-1,5| = 1,5\)

Natürlich gilt auch:
\(|1,5| = 1,5\)

Den Betrag brauchen wir hier, da der Schnittwinkel als positiver Winkel definiert ist.

Den Schnittwinkel (in Grad) erhalten wir durch Auflösen der Gleichung nach \(\alpha\)

\[\alpha = \arctan\left(\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|\right)\]

\(\arctan\) steht für Arcustangens. Dabei handelt es sich um die Umkehrfunktion des Tangens.
Auf den meisten handelsüblichen Taschenrechnern heißt die Arcustangens-Taste \(\tan^{−1}\).
Hinweis: Der Taschenrechner muss bei dieser Berechnung auf DEG (Degree) stehen.

Beispiel 1

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden

\(g:\: y = 0,25x + 3\)
\(h:\: y = 2x - 7\)

Wie groß ist der Schnittwinkel?

\[\tan \alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|\]

\[\phantom{\tan \alpha} = \left|\frac{0,25 - 2}{1 + 0,25 \cdot 2}\right|\]

\[\phantom{\tan \alpha} = \left|\frac{-1,75}{1,5}\right|\]

\[\phantom{\tan \alpha} = \left|-\frac{7}{6}\right|\]

\[\phantom{\tan \alpha} = \frac{7}{6}\]

\[\alpha = \arctan\left(\frac{7}{6}\right) \approx 49,4°\]

Beispiel 2

Gegeben sind zwei sich schneidende Geraden

\(g:\: y = -0,5x + 5\)
\(h:\: y = \phantom{-}0,5x + 1\)

Wie groß ist der Schnittwinkel?

\[\tan \alpha = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right|\]

\[\phantom{\tan \alpha} = \left|\frac{-0,5 - 0,5}{1 + (-0,5) \cdot 0,5}\right|\]

\[\phantom{\tan \alpha} = \left|\frac{-1}{0,75}\right|\]

\[\phantom{\tan \alpha} = \left|-\frac{4}{3}\right|\]

\[\phantom{\tan \alpha} = \frac{4}{3}\]

\[\alpha = \arctan\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53,1°\]

Sonderfall

Gilt \(m_1 \cdot m_2 = - 1\) stehen die Geraden senkrecht (d.h. im 90° Winkel) aufeinander.
Die obige Formel führt in diesem Fall aber zu keinem Ergebnis!
Begründung: Der Nenner des Bruchs wird Null. Eine Division durch Null ist nicht definiert.

Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen

Es lohnt sich, zunächst das Kapitel zum Steigungswinkel zu lesen.

Die Gerade bildet mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck, weshalb gilt:
\(\alpha + \beta + 90° = 180°\)

\(\alpha\) = Schnittwinkel mit x-Achse
\(\beta\) = Schnittwinkel mit y-Achse

Für den Schnittwinkel einer Geraden mit der x-Achse gilt

\(\alpha = \arctan(|m|)\)

Für den Schnittwinkel einer Gerade mit der y-Achse gilt:

\(\beta = 180° - 90° - \alpha\)

Beispiel

Gegeben ist die Gerade \(y = -1,5 + 6\).
Berechne die Schnittwinkel mit den Koordinatenachsen.

Schnittwinkel mit x-Achse

\(\alpha = \arctan(|-1,5|) = \arctan(1,5) \approx 56,3°\)

Schnittwinkel mit y-Achse

\(\beta = 180° - 90° - 56,3° = 33,7°\)

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Mehr zu linearen Funktionen

Im Zusammenhang mit linearen Funktionen gibt es bestimmte Fragestellungen, die in Prüfungen häufig abgefragt werden. Es lohnt sich daher, die folgenden Kapitel nacheinander durchzulesen.

Untersuchung einer Funktion
Lineare Funktionen zeichnen
Punktprobe
y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion berechnen
Nullstelle einer linearen Funktion berechnen
Steigung einer linearen Funktion berechnen
> Steigungsdreieck
> Steigungsformel
> Steigungswinkel
Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen
Untersuchung zweier Funktionen
Lage zweier Geraden bestimmen
> Schnittpunkt zweier Geraden berechnen
> Schnittwinkel zweier Geraden berechnen
Umkehrfunktion
Umkehrfunktion bilden
Aufgaben mit Lösungen
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Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!