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Lineare Gleichungssysteme lösen

Im letzten Kapitel haben wir darüber gesprochen, was man unter einem linearen Gleichungssystem versteht. In diesem Kapitel schauen wir uns an, welche Möglichkeiten es gibt, lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Rechnerische Lösungsverfahren

In der Schule beschäftigt man sich mit folgenden Verfahren

Im Studium kommen einige Lösungsverfahren hinzu

Dabei ist der Gauß-Algorithmus ohne jeden Zweifel das populärste Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme.

Graphische Deutung eines LGS

Wir wissen bereits, dass wir ein lineares Gleichungssystem (LGS) rechnerisch lösen können. Doch wie kann man sich ein LGS im Koordinatensystem vorstellen?

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten

\(\begin{align*}
a_{11}x+a_{12}y = b_1 \\
a_{21}x+a_{22}y = b_2
\end{align*}\)

Jede Zeile des Gleichungssystems entspricht einer Geraden im Koordinatensystem.

Je nachdem, wie die beiden Geraden zueinanderstehen, gibt es folgende Lösungsfälle:

a) genau eine Lösung
wenn sich die Geraden schneiden.

b) unendlich viele Lösungen
wenn die Geraden aufeinander liegen.

c) keine Lösung
wenn die Geraden parallel zueinander verlaufen.

Für lineare Gleichungssysteme mit mehr als 2 Gleichungen und 2 Unbekannten gibt es übrigens auch nur die oben genannten drei Lösungsmöglichkeiten.

Lineare Gleichungssysteme graphisch lösen - Beispiel

Zum Verständis dieses Abschnitts ist es erforderlich, dass du das Kapitel linearen Funktionen wiederholst.

Gegeben ist folgendes Gleichungssystem

\(\begin{align*}
2x + 3y &= 14 \\
x + 2y &= 8
\end{align*}\)

Mit Hilfe eines der oben genannten Verfahren können wir die Lösung \(x = 4\) und \(y = 2\) berechnen. Doch was bedeutet das eigentlich?

Graphisch betrachtet entspricht...

  • ...jede Zeile des Gleichungssystems einer Geraden.
  • ..die berechnete Lösung - also \(x = 4\) und \(y = 2\) - den Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden.

Lösen wir die Zeilen des Gleichungssystems jeweils nach \(y\) auf, erhalten wir die Geradengleichungen.

\(\begin{align*}
2x + 3y &= 14\\
x + 2y &= 8
\end{align*}\)

1.) Unbekannte \(x\) auf die rechte Seite bringen

\(\begin{align*}
2x + 3y &= 14 \quad |-2x \\
x + 2y &= 8 \quad |-x
\end{align*}\)

\(\begin{align*}
3y &= - 2x + 14 \\
2y &= -x + 8
\end{align*}\)

2.) Gleichungen durch den jeweiligen Faktor vor dem \(y\) dividieren

\(\begin{align*}
3y &= - 2x + 14 \quad |:3 \\
2y &= -x + 8 \quad |:2
\end{align*}\)

\(\begin{align*}
y &= - \frac{2}{3}x + \frac{14}{3} \\
y &= -\frac{1}{2}x + 4
\end{align*}\)

Damit haben wir die Gleichungen der Geraden bestimmt.

Im Koordinatensystem sind die beiden Geraden sowie ihr Schnittpunkt bei S(4|2) eingezeichnet.

Der Koordinaten des Schnittpunktes \(x=4\) und \(y=2\) sind die Lösungen des Gleichungssystems.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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