Lineare Unabhängigkeit
In diesem Kapitel schauen wir uns die lineare Unabhängigkeit von Vektoren an.
Erforderliches Vorwissen
Definition
$n$ Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt,
$$ \lambda_1 \vec{a}_1 + \lambda_2 \vec{a}_2 + \dots + \lambda_n \vec{a}_n = \vec{0} $$
in der alle Koeffizienten $\lambda_1 \dots \lambda_n$ gleich Null sind.
Alternative Formulierung
Lineare Unabhängigkeit liegt vor, wenn gilt:
- Kein Vektor ist das Vielfache eines anderen Vektors
- Kein Vektor lässt sich durch eine beliebige Kombination anderer Vektoren erzeugen
Auf lineare Unabhängigkeit prüfen
Zwei Vektoren des $\mathbb{R}^2$ oder drei Vektoren des $\mathbb{R}^3$ sind genau dann linear unabhängig, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.
Sind die Vektoren
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} $$
linear unabhängig?
$$ |A|= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2 $$
Da die Determinante ungleich Null ist, sind die Vektoren linear unabhängig.
Sind die Vektoren
$$ \vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
linear unabhängig?
$$ |B|= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 $$
Da die Determinante ungleich Null ist, sind die Vektoren linear unabhängig.
