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Logarithmusfunktionen

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Logarithmusfunktionen sind.

Die Funktionsgleichung einer Logarithmusfunktion ist \(y = \log_{a}x\).
(mit \(a \in \mathbb{R}^{+}\backslash\{1\}\) und \(x \in \mathbb{R}^{+}\))

Wegen \(y = f(x)\) schreibt man auch häufig \(f(x) = a^x\).

Warum muss die Basis positiv sein?

Der Logarithmus ist für nur für positive Basen definiert.

Warum darf die Basis nicht gleich 1 sein?

Der Logarithmus ist für eine Basis gleich 1 nicht definiert.

Warum muss darf ich nur positive x-Werte in die Funktion einsetzen?

Der Logarithmus ist nur für einen positiven Numerus definiert.

Graph einer Logarithmusfunktion

Der Graph einer Logarithmusfunktion heißt Logarithmuskurve.

Die Logarithmuskurven unterscheiden sich danach, ob die Basis \(a\)

  • zwischen 0 und 1 liegt oder
  • größer als 1 ist.

a) Basis \(a\) zwischen 0 und 1

Beispiel

\[f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x\]

Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 3 & 7 \\
\hline
\text{y} & 3,32 & 2,32 & 1,74 & 1,32 & 1 & 0 & -0,58 & -1 & -1,58 & -2,81 \\
\end{array}

Wir haben die Funktionswerte auf zwei Nachkommastellen gerundet.




Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x\]

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  • Je größer \(x\), desto kleiner \(y\) \(\Rightarrow\) Der Graph ist streng monoton fallend!
  • Der Graph schmiegt sich an den positiven Teil der y-Achse.

b) Basis \(a\) größer als 1

Beispiel

\[g(x) = \log_{2}x\]

Um den Graphen sauber zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\text{x} & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 3 & 7 \\
\hline
\text{y} & -3,32 & -2,32 & -1,74 & -1,32 & -1 & 0 & 0,58 & 1 & 1,58 & 2,81 \\
\end{array}

Wir haben die Funktionswerte auf zwei Nachkommastellen gerundet.




Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion
\[g(x) = \log_{2}x\]

Wir können einige interessante Eigenschaften beobachten:

  • Je größer \(x\), desto größer \(y\) \(\Rightarrow\) Der Graph ist streng monoton steigend!
  • Der Graph schmiegt sich an den negativen Teil der y-Achse.

Eigenschaften von Logarithmusfunktionen

Wenn wir die beiden Funktionen \(f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x\) und \(g(x) = \log_{2}x\) in dasselbe Koordinatensystem zeichnen, können wir einige Eigenschaften beobachten.




Die Abbildung zeigt folgende Graphen
\(f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x\) und \(g(x) = \log_{2}x\)

  1. Alle Logarithmuskurven verlaufen rechts von der y-Achse.
    \(\Rightarrow\) Die Definitionsmenge der Logarithmusfunktion ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\).
  2. Alle Logarithmuskurven kommen der y-Achse beliebig nahe.
    \(\Rightarrow\) Die y-Achse ist senkrechte Asymptote der Logarithmuskurve.
  3. Logarithmuskurven haben keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.
    \(\Rightarrow\) Logarithmusfunktionen haben keinen y-Achsenabschnitt!
  4. Alle Logarithmuskurven schneiden die x-Achse im Punkt (1|0).
    \(\Rightarrow\) Die Nullstelle der Logarithmusfunktion ist \(x = 1\).

Besondere Eigenschaft (Achsensymmetrie)

Die Logarithmusfunktionen \(f(x) = \log_{\frac{1}{a}}\) und \(g(x) = \log_{a}x\) sind achsensymmetrisch.
Dabei ist die x-Achse die Symmetrieachse.

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften

Funktionsgleichung \(f(x) = \log_{a}x\)
Definitionsmenge \(\mathbb{D} = \mathbb{R}^{+}\)
Wertemenge \(\mathbb{W} = \mathbb{R}\)
Asymptote \(x = 0\) (also die y-Achse)
Schnittpunkt mit y-Achse
es gibt keinen!
Schnittpunkt mit x-Achse \(P(1|0)\)
Monotonie \(0 < a < 1\): streng monoton fallend
\(a > 1\): streng monoton steigend
Umkehrfunktion Exponentialfunktion \(f(x) = a^x\)

Die bekannteste Logarithmusfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion, die sog. ln-Funktion.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!