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Matrizenmultiplikation

In diesem Kapitel lernen wir, auf welche Weise man Matrizen multiplizieren kann. Da sich die Matrizenmultiplikation auf die Multiplikation von Vektoren zurückführen lässt, solltest du das Thema "Skalarprodukt berechnen" wiederholen.

Wusstest du schon, dass dein Casio Taschenrechner auch Matrizen multiplizieren kann?

In folgendem Mathe Video (5:42 min) wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels erklärt,
wie man mit Hilfe des Falk-Schemas Matrizen multipliziert.

Voraussetzung für die Multiplikation von Matrizen

Zwei Matrizen lassen sich nur dann miteinander multiplizieren, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt.

Beispiel 1

\(A_{(2,{\color{green}3})} \cdot B_{({\color{green}3},2)} =\)

\(\begin{pmatrix} {\color{green}a_{11}} & {\color{green}a_{12}} & {\color{green}a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{green}b_{11}} & b_{12} \\ {\color{green}b_{21}} & b_{22} \\ {\color{green}b_{31}} & b_{32} \end{pmatrix} =\)

Das Multiplizieren von \(A\) und \(B\) ist möglich,
da die Spaltenanzahl von \(A\) der Zeilenanzahl von \(B\) entspricht.

Beispiel 2

\(A_{(2,{\color{red}3})} \cdot B_{({\color{red}2},2)} =\)

\(\begin{pmatrix} {\color{red}a_{11}} & {\color{red}a_{12}} & {\color{red}a_{13}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{red}b_{11}} & b_{12} \\ {\color{red}b_{21}} & b_{22} \end{pmatrix} =\)

Das Multiplizieren von \(A\) und \(B\) ist nicht möglich,
da die Spaltenanzahl von \(A\) nicht der Zeilenanzahl von \(B\) entspricht.

Bezeichnung der Ergebnismatrix

Das Ergebnis der Multiplikation (also die Matrix \(C = A \cdot B\)) heißt Matrixprodukt.
[Alternative Bezeichnungen: Matrizenprodukt, Produktmatrix]

Dimension der Ergebnismatrix

Das Matrixprodukt \(C\) hat so viele Zeilen wie die Matrix \(A\) und so viele Spalten wie die Matrix \(B\).

Beispiel 1

\(A_{({\color{blue}2},3)} \cdot B_{(3,{\color{blue}2})} = C_{({\color{blue}2},{\color{blue}2})}\)

\(\begin{pmatrix} {\color{blue}a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ {\color{blue}a_{21}} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{blue}b_{11}} & {\color{blue}b_{12}} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}c_{11}} & {\color{blue}c_{12}} \\ {\color{blue}c_{21}} & {\color{blue}c_{22}} \end{pmatrix}\)

Beispiel 2

\(A_{({\color{blue}2},3)} \cdot B_{(3,{\color{blue}4})} = C_{({\color{blue}2},{\color{blue}4})}\)

\(\begin{pmatrix} {\color{blue}a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ {\color{blue}a_{21}} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {\color{blue}b_{11}} & {\color{blue}b_{12}} & {\color{blue}b_{13}} & {\color{blue}b_{14}} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\color{blue}c_{11}} & {\color{blue}c_{12}} & {\color{blue}c_{13}} & {\color{blue}c_{14}} \\ {\color{blue}c_{21}} & {\color{blue}c_{22}} & {\color{blue}c_{23}} & {\color{blue}c_{24}} \end{pmatrix}\)

Rechenregeln

Assoziativgesetz \((A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\)
Distributivgesetz \(A \cdot (B+C) = (A \cdot B) + (A \cdot C)\)
\((A + B) \cdot C = (A \cdot C) + (B \cdot C)\)

ACHTUNG!

Im Allgemeinen gilt: \(A \cdot B \neq B \cdot A\).

Das Kommutativgesetz (der Multiplikation) gilt für Matrizen nicht!

Matrizenmultiplikation mit dem Falk-Schema

Um Matrizen per Hand zu multiplizieren, verwendet man meist das sog. "Falk-Schema".

Vorgehensweise

  1. Kreuz einzeichnen
  2. Matrix \(A\) unten links eintragen
  3. Matrix \(B\) oben rechts eintragen
  4. (Ergebnismatrix \(C\) unten rechts eintragen)
  5. Elemente der Ergebnismatrix \(C\) berechnen
  6. Ergebnis notieren

Am besten ist es, wenn wir das Falk-Schema anhand eines Beispiels erklären:

Gegeben sind die beiden Matrizen

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1\end{pmatrix}; \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix};\)

Berechne das Matrixprodukt \(A \cdot B\).

1.) Kreuz einzeichnen

\(\begin{array}{rrr|cc}
&&& \phantom{2} & \phantom{1}\\
&&& \phantom{1} & \phantom{2}\\
&&& \phantom{2} & \phantom{1}\\
\hline
\phantom{1} & \phantom{2} & \phantom{3} & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\
\phantom{3} & \phantom{1} & \phantom{1} & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}}
\end{array}\)

2.) Matrix A unten links eintragen

\(\begin{array}{rrr|cc}
&&& \phantom{2} & \phantom{1}\\
&&& \phantom{1} & \phantom{2}\\
&&& \phantom{2} & \phantom{1}\\
\hline
1 & 2 & 3 & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\
3 & 1 & 1 & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}}
\end{array}\)

3.) Matrix B oben rechts eintragen

\(\begin{array}{rrr|cc}
&&& 2 & 1\\
&&& 1 & 2\\
&&& 2 & 1\\
\hline
1 & 2 & 3 & \phantom{x_{11}} & \phantom{x_{12}} \\
3 & 1 & 1 & \phantom{x_{21}} & \phantom{x_{22}}
\end{array}\)

4.) Ergebnismatrix C unten rechts eintragen

Hinweis: Diesen Schritt kann man auslassen, wenn man bereits einige Aufgaben gelöst hat.

\(\begin{array}{rrr|cc}
&&& 2 & 1\\
&&& 1 & 2\\
&&& 2 & 1\\
\hline
1 & 2 & 3 & {\color{red}x_{11}} & {\color{orange}x_{12}} \\
3 & 1 & 1 & {\color{blue}x_{21}} & {\color{cyan}x_{22}}
\end{array}\)

5.) Elemente der Ergebnismatrix C berechnen

\({\color{red}x_{11}}\) ergibt sich aus dem Skalarprodukt
der 1. Zeile der Matrix A und der 1. Spalte der Matrix B.

\(\begin{array}{rrr|cc}
&&&{\color{red}2}& 1\\
&&&{\color{red}1}& 2\\
&&&{\color{red}2}& 1\\
\hline
{\color{red}1}&{\color{red}2}&{\color{red}3}&{\color{red}x_{11}} & x_{12} \\
3 & 1 & 1 & x_{21} & x_{22}
\end{array}\)

\(x_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = {\color{red}10}\)

\({\color{orange}x_{12}}\) ergibt sich aus dem Skalarprodukt
der 1. Zeile der Matrix A und der 2. Spalte der Matrix B.

\(\begin{array}{rrr|cc}
&&& 2 & {\color{orange}1}\\
&&& 1 & {\color{orange}2}\\
&&& 2 & {\color{orange}1}\\
\hline
{\color{orange}1}&{\color{orange}2} &{\color{orange}3} & x_{11} &{\color{orange}x_{12}} \\
3 & 1 & 1 & x_{21} & x_{22}
\end{array}\)

\(x_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = {\color{orange}8}\)

\({\color{blue}x_{21}}\) ergibt sich aus dem Skalarprodukt
der 2. Zeile der Matrix A und der 1. Spalte der Matrix B.

\(\begin{array}{rrr|cc}
&&&{\color{blue}2} & 1\\
&&&{\color{blue}1} & 2\\
&&&{\color{blue}2} & 1\\
\hline
1 & 2 & 3 & x_{11} & x_{12} \\
{\color{blue}3}&{\color{blue}1} &{\color{blue}1} &{\color{blue}x_{21}} & x_{22}
\end{array}\)

\(x_{21} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 1\cdot 2 = {\color{blue}9}\)

\({\color{cyan}x_{22}}\) ergibt sich aus dem Skalarprodukt
der 2. Zeile der Matrix A und der 2. Spalte der Matrix B.

\(\begin{array}{rrr|cc}
&&& 2 & {\color{cyan}1}\\
&&& 1 & {\color{cyan}2}\\
&&& 2 & {\color{cyan}1}\\
\hline
1 & 2 & 3 & x_{11} & x_{12} \\
{\color{cyan}3}&{\color{cyan}1} &{\color{cyan}1} & x_{21} & {\color{cyan}x_{22}}
\end{array}\)

\(x_{22} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = {\color{cyan}6}\)

6.) Ergebnis notieren

\(\begin{array}{rrr|cc}
&&& 2 & 1\\
&&& 1 & 2\\
&&& 2 & 1\\
\hline
1 & 2 & 3 &{\color{red}10} &{\color{orange}8} \\
3 & 1 & 1 &{\color{blue}9} &{\color{cyan}6}
\end{array}\)

Die Ergebnismatrix lautet demnach

\(C = \begin{pmatrix} 10 & 8 \\ 9 & 6 \end{pmatrix}\)

Im Gegensatz zum Addieren und Subtrahieren von Matrizen erfordert die Matrizenmultiplikation deutlich mehr Übung. Nachdem du einige Aufgaben selbständig gelöst hast, sollte dir dieses Thema jedoch auch keine Probleme mehr bereiten.

Rechnen mit Matrizen

  Voraussetzung
Matrizen addieren Anzahl der Zeilen und Spalten von \(A\) und \(B\) stimmen überein
Matrizen subtrahieren Anzahl der Zeilen und Spalten von \(A\) und \(B\) stimmen überein
Matrizen multiplizieren Anzahl der Spalten von \(A\) entspricht Anzahl der Zeilen von \(B\)

Hinweis: Die Division von Matrizen ist nicht definiert. In manchen Fällen ist aber eine Multiplikation mit der Kehrmatrix (> Inverse Matrix) möglich: \(A / B = A \cdot B^{-1}\).

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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