Matrizenrechnung
In diesem Kapitel besprechen wir die Grundlagen der Matrizenrechnung.
Definition
Eine rechteckige Anordnung von Elementen heißt Matrix:
$$ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$
Die Elemente einer Matrix sind meist Zahlen. Es kommen aber auch z. B. Variablen und Funktionen infrage.
Die Position eines Elementes – z. B. $a_{ij}$ – wird mit einem Doppelindex gekennzeichnet: Dabei gibt der erste Index $i$ die Zeile und der zweite Index $j$ die Spalte an, in der das Element steht.
Eine Matrix, die aus $m$ Zeilen und $n$ Spalten besteht, heißt $\boldsymbol{(m, n)}$-Matrix.
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} $$
Die Matrix $A$ ist eine $(3, 2)$-Matrix.
$$ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 5 & -7 & 6 \end{pmatrix} $$
Die Matrix $B$ ist eine $(2, 3)$-Matrix.
Eine Matrix, die aus $m$ Zeilen und $n$ Spalten besteht, hat die Dimension $\boldsymbol{m \times n}$.
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -3 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} $$
Die Matrix $A$ hat die Dimension $3 \times 2$.
$$ B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 5 & -7 & 6 \end{pmatrix} $$
Die Matrix $B$ hat die Dimension $2 \times 3$.
Rechnen mit Matrizen
Matrizen lassen sich addieren, subtrahieren und multiplizieren. Außerdem kann man Matrizen transponieren sowie invertieren. Wie das funktioniert und was man dabei beachten muss, erfährst du in den folgenden Kapiteln:
- Matrizen addieren / Matrizen subtrahieren
- Matrizen multiplizieren
- Matrizen transponieren
- Matrizen invertieren
| Voraussetzung | |
|---|---|
| Matrizen addieren | Anzahl der Zeilen und Spalten von $A$ und $B$ stimmen überein |
| Matrizen subtrahieren | Anzahl der Zeilen und Spalten von $A$ und $B$ stimmen überein |
| Matrizen multiplizieren | Anzahl der Spalten von $A$entspricht Anzahl der Zeilen von $B$ |
Die Division von Matrizen ist nicht definiert. In manchen Fällen ist aber eine Multiplikation mit der Kehrmatrix (Inverse Matrix) möglich: $A / B = A \cdot B^{-1}$.
Besondere Matrizen
Im Folgenden werden einige Matrizen genannt, die sich durch ihre besondere Gestalt von anderen Matrizen unterscheiden.
Quadratische Matrizen
Eine Matrix, deren Zeilen- und Spaltenanzahl übereinstimmt ($m = n$), heißt quadratisch.
Bekannte Vertreter dieser Gattung sind die 2x2- und 3x3-Matrizen, die häufig in Schule und Studium vorkommen.
$$ A = \begin{pmatrix}{\color{red}a_{11}} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & {\color{red}a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & {\color{red}a_{33}} \end{pmatrix} $$
Die Elemente einer quadratischen Matrix, für die $i = j$ gilt, bilden die sog. Hauptdiagonale der Matrix (im obigen Beispiel rot markiert).
Nullmatrix
Eine Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind, heißt Nullmatrix.
Einheitsmatrix
Eine Matrix, bei der die Elemente der Hauptdiagonale gleich Eins und alle anderen Elemente gleich Null sind, heißt Einheitsmatrix.
Diagonalmatrix
Eine Matrix, bei der alle Elemente – außer die Elemente der Hauptdiagonale – gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix.
Spezialfälle
- Einheitsmatrix (Elemente der Hauptdiagonale gleich Eins)
- Nullmatrix (Elemente der Hauptdiagonale gleich Null)
Obere Dreiecksmatrix
Eine Matrix, bei der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind, heißt obere Dreiecksmatrix.
$$ A = \begin{pmatrix} {\color{red}3} & {\color{red}4} & {\color{red}1} \\ 0 & {\color{red}-5} & {\color{red}4} \\ 0 & 0 & {\color{red}4} \end{pmatrix} $$
Spezialfall
- Nullmatrix
Untere Dreiecksmatrix
Eine Matrix, bei der alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind, heißt untere Dreiecksmatrix.
$$ A = \begin{pmatrix} {\color{red}3} & 0 & 0 \\ {\color{red}1} & {\color{red}-2} & 0 \\ {\color{red}5} & {\color{red}5} & {\color{red}4} \end{pmatrix} $$
Spezialfall
- Nullmatrix
Weitere Matrizen
Zu den folgenden Matrizen gibt es jeweils ein eigenes Kapitel:
- Transponierte Matrix
$A^T$ - Inverse Matrix
$A^{-1}$ - Orthogonale Matrix
$Q$ - Drehmatrix
$D$
