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Mengenlehre

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Mengenlehre. Der Untersuchungsgegenstand der Mengenlehre sind Mengen. Doch worum handelt es sich dabei überhaupt?

Umgangssprachlich versteht man unter einer Menge von Dingen immer viele Dinge.

  • Im Fußballstadion sind eine Menge Zuschauer.
  • Im Kino wurde heute eine Menge Eintrittskarten verkauft.
  • Am Skateplatz ist stets eine Menge Jugendlicher.

In der Mathematik ist eine Menge jedoch anders definiert:

Unter einer Menge versteht man in der Mathematik jede Zusammenfassung von verschiedenen Objekten zu einer Gesamtheit.

Die Objekte, die zu einer Menge gehören, nennt man die Elemente der Menge.

Schreibweisen in der Mengenlehre

In der Mengenlehre sind zwei Schreibweisen verbreitet.

a) Aufzählende Mengenschreibweise

Bei der aufzählenden Schreibweise werden die Elemente zwischen geschweiften Klammern gesetzt und durch Kommas oder Semikolons getrennt.

Schreibweise mit Komma: M = {Element 1, Element 2, ...}
Schreibweise mit Semikolon: M = {Element 1; Element 2; ...}

Beispiele:
\(A = \{1,2,3\}\)         - Menge der Zahlen \(1\), \(2\) und \(3\)
\(B = \{-7; 0,5; 4\}\) - Menge der Zahlen \(-7\) sowie \(0,5\) und \(4\)

b) Beschreibende Mengenschreibweise

Bei der beschreibenden Schreibweise werden die Elemente durch die Angabe von charakterisierenden Eigenschaften beschrieben.

Schreibweise: M = {\(x~|~x\) besitzt die Eigenschaften \(E_1,~E_2,...,~E_n\)}

Beispiel:
\(A = \{x~|~-5 < x < 3\}\)
\(\rightarrow\) die Menge \(A\) besteht aus den Elementen \(x\), für die \(-5 < x < 3\) gilt.

Im Artikel zur Mengenschreibweise erfährst du mehr über die beiden Schreibweisen.

Veranschaulichung von Mengen

Mengen werden gewöhnlich mit Hilfe sog. "Mengendiagramme" dargestellt. Dabei handelt es sich um Kreise (oder Ellipsen), in deren Inneren sich die Elemente der betrachteten Mengen befinden. Alles, was sich außerhalb eines Kreises befindet, gehört nicht zu dieser Menge.

Beispiel

\(A = \{\text{Hund, Katze, Maus}\}\)

\(\text{Hund } \in A\)
\(\text{Katze } \in A\)
\(\text{Maus } \in A\)

\(\text{Ameise } \notin A\)
\(\text{Vogel } \notin A\)

\(\text{Hund } \in A~\) ist die mathematische Schreibweise für: "Hund ist ein Element von \(A\)".

\(\text{Ameise } \notin A~\) ist die mathematische Schreibweise für: "Ameise ist kein Element von \(A\)".

Vergleich von Mengen

Möchte man zwei Mengen vergleichen, kann man sich entweder auf die Anzahl der Elemente (Mächtigkeit) beschränken oder untersuchen, ob die Mengen identisch sind.

a) Mächtigkeit einer Menge

Unter der Mächtigkeit einer Menge versteht man die Anzahl der Elemente dieser Menge.

Schreibweise: \(|A|\)

Besitzen die beiden Mengen \(A\) und \(B\) die gleiche Mächtigkeit?
\(A = \{0,2,4,6,8\}, \qquad B = \{a,b,c,d\}\)

Durch das Abzählen der Elemente können wir feststellen, dass gilt: \(|A| = 5\) bzw. \(|B| = 4\).

Die Menge \(A\) besitzt 5 Elemente, weshalb ihre Mächtigkeit gleich 5 ist. Die Menge \(B\) besitzt hingegen 4 Elemente, weshalb ihre Mächtigkeit gleich 4 ist. Offensichtlich sind die beiden Mengen nicht gleich groß.

b) Gleichheit von Mengen

Zwei Mengen \(A\) und \(B\) heißen gleich, wenn jedes Element von \(A\) auch Element von \(B\) ist und umgekehrt.

Schreibweise: \(A = B\)

Sind die beiden Mengen \(A\) und \(B\) gleich?
\(A = \{2,6,4,8,0\}, \qquad B = \{0,2,4,6,8\}\)

Da jedes Element von \(A\) auch Element von \(B\) ist (und umgekehrt), sind die beiden Mengen identisch. Wie bereits erwähnt, spielt die unterschiedliche Anordnung von Elementen bei der Betrachtung von Mengen keine Rolle.

Verhältnis zweier Mengen

Teilmenge

Eine Menge \(A\) heißt Teilmenge einer Menge \(B\), wenn jedes Element von \(A\) auch zur Menge \(B\) gehört.

Schnittmenge

Die Schnittmenge zweier Mengen \(A\) und \(B\) ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu \(A\) als auch zu \(B\) gehören.

Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen \(A\) und \(B\) ist die Menge aller Elemente, die zu \(A\) oder zu \(B\) oder zu beiden Mengen gehören.

Differenzmenge

Die Differenzmenge zweier Mengen \(A\) und \(B\) ist die Menge aller Elemente, die zu \(A\), nicht aber zu \(B\) gehören.

Symmetrische Differenz

Die symmetrische Differenz zweier Mengen \(A\) und \(B\) ist die Menge aller Elemente, die zu \(A\) oder zu \(B\), nicht aber zu beiden Mengen gehören.

Komplement

Das Komplement einer Menge \(B\) ist die Menge aller Elemente, die nicht zu \(B\) gehören.

Komplement bezüglich einer Grundmenge

Das Komplement von \(B\) bezüglich \(A\) ist die Menge aller Elemente von \(A\), die nicht zu \(B\) gehören.

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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