Über 80 € Preisvorteil gegenüber Einzelkauf!
Mathe-eBooks im Sparpaket
Von Schülern, Studenten, Eltern und
Lehrern mit 4,86/5 Sternen bewertet.
47 PDF-Dateien mit über 5000 Seiten
inkl. 1 Jahr Updates für nur 29,99 €.
Ab dem 2. Jahr nur 14,99 €/Jahr.
Kündigung jederzeit mit wenigen Klicks.
Jetzt Mathebibel herunterladen

Mengen­verknüpfungen

In diesem Kapitel schauen wir uns alle Arten von Mengenverknüpfungen an.

Erforderliches Vorwissen

Arten 

Wir wissen, dass wir Zahlen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division miteinander verknüpfen können. Obwohl sich Mengen von Zahlen unterscheiden, können wir auch auf Mengen mathematische Operationen anwenden. Durch diese sog. Mengenverknüpfungen werden aus gegebenen Mengen auf verschiedene Weise neue Mengen gebildet.

Mengenverknüpfungen

  • Vereinigungsmenge (Vereinigung)
  • Schnittmenge (Durchschnitt)
  • Differenzmenge (Differenz)
    • Komplementärmenge (Komplement)
  • Symmetrische Differenz
  • Produktmenge (Kartesisches Produkt)

Der mathematische Fachbegriff für Mengenverknüpfungen ist Mengenoperationen.

Beispiele 

Im Folgenden schauen wir uns für jede Art von Mengenverknüpfung ein Beispiel an.

Aufgabenstellung

$A$ ist die Menge aller meiner Freunde, die im Sportverein angemeldet sind:
$$ A = \{\text{David}, \text{Johanna}, \text{Mark}, \text{Robert}\} $$

$B$ ist die Menge aller meiner Freunde, die ein Musikinstrument spielen:
$$ B = \{\text{Anna}, \text{Laura}, \text{Mark}\} $$

Ein Blick auf das Mengendiagramm verrät, dass $\text{Mark}$ als einziger meiner Freunde sowohl Sportler als auch Musiker ist.

Abb. 1 

Vereinigungsmenge 

Frage

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet ODER* spielen ein Musikinstrument?

Anmerkung

Das oder bedeutet hier und/oder (und nicht entweder…oder).

Fragen mit entweder…oder beantwortet die symmetrische Differenz.

Antwort

$$ A \cup B = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Mark}}, {\color{green}\text{Robert}}, {\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}\} $$

Schreibweise
$$ A \cup B $$

Sprechweise
A vereinigt mit B

Weiterführende Informationen
Vereinigungsmenge

Abb. 2 / Vereinigungsmenge 

Schnittmenge 

Frage

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet UND spielen ein Musikinstrument?

Antwort

$$ A \cap B = \{{\color{green}\text{Mark}}\} $$

Schreibweise
$$ A \cap B $$

Sprechweise
A geschnitten mit B

Weiterführende Informationen
Schnittmenge

Abb. 3 / Schnittmenge 

Differenzmenge 

Frage

Welche meiner Freunde sind im Sportverein angemeldet UND spielen kein Musikinstrument?

Antwort

$$ A \setminus B = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Robert}}\} $$

Schreibweise
$$ A \setminus B $$

Sprechweise
A ohne B

Weiterführende Informationen
Differenzmenge

Spezialfall
Komplementärmenge

Abb. 4 / Differenzmenge 

Symmetrische Differenz 

Frage

Welche meiner Freunde sind ENTWEDER im Sportverein ODER spielen ein Musikinstrument?

Antwort

$$ A \bigtriangleup B = \{{\color{green}\text{David}}, {\color{green}\text{Johanna}}, {\color{green}\text{Robert}}, {\color{green}\text{Anna}}, {\color{green}\text{Laura}}\} $$

Schreibweise
$$ A \bigtriangleup B $$

Sprechweise
A Delta B

Weiterführende Informationen
Symmetrische Differenz

Abb. 5 / Symmetrische Differenz 

Kartesisches Produkt 

Das kartesische Produkt zweier Mengen $A$ und $B$ ist das Ergebnis, das wir erhalten, wenn wir jedes Element $a$ der Menge $A$ mit jedem Element $b$ der Menge $B$ miteinander kombinieren, jede Kombination als geordnetes Paar $(a, b)$ aufschreiben und alle geordneten Paare in einer Menge zusammenfassen. Im Unterschied zu den vorherigen Verknüpfungen erzeugt das kartesische Produkt – wie das folgende Beispiel eindrucksvoll zeigt – also ganz neue Elemente.

Gegeben

$A$ ist die Menge aller meiner männlichen Freunde:
$$ A = \{\text{David}, \text{Mark}, \text{Robert}\} $$

$B$ ist die Menge aller meiner weiblichen Freunde:
$$ B = \{\text{Anna}, \text{Johanna}, \text{Laura}\} $$

Gesucht

Auf meiner Geburtstagsfeier soll jeder Junge mit jedem Mädchen einmal tanzen.

Ich interessiere mich für die Menge aller möglichen Tanzpaare.

Lösung

$$ A \times B = \left\{ \begin{align*} &(\text{David}, \text{Anna}), (\text{David}, \text{Johanna}), (\text{David}, \text{Laura}), \\ &(\text{Mark}, \text{Anna}), (\text{Mark}, \text{Johanna}), (\text{Mark}, \text{Laura}), \\ &(\text{Robert}, \text{Anna}), (\text{Robert}, \text{Johanna}), (\text{Robert}, \text{Laura}) \end{align*} \right\} $$

Noch Fragen? Logo von Easy-Tutor hilft!

Probestunde sichern