Monotonieverhalten

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was sich hinter dem Begriff Monotonieverhalten verbirgt.

Um dieses Thema zu verstehen, ist etwas Vorwissen von Vorteil

Differentialrechnung Wie berechnet man die Ableitung einer Funktion?
1. Ableitung Welche Aussage trifft die 1. Ableitung?
2. Ableitung Welche Aussage trifft die 2. Ableitung?
Extremwerte berechnen Wie berechnet man den Hochpunkt/Tiefpunkt einer Funktion?

Das Monotonieverhalten einer Funktion gibt Auskunft darüber,
in welchen Bereichen der Graph einer Funktion steigt oder fällt.

In diesem Zusammenhang solltest du folgende Definitionen kennen:

Die Funktion \(f\) ist streng monoton steigend, wenn \(f'(x) > 0\) gilt.

Die Funktion \(f\) ist streng monoton fallend, wenn \(f'(x) < 0\) gilt.

Monotonieverhalten bestimmen

Grundsätzlich gibt es zwei unterschiedliche Herangehensweisen, um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen.

Verfahren 1

Beim ersten Verfahren ist es notwendig, die zweite Ableitung zu berechnen.

  1. Erste Ableitung berechnen
  2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen
  3. Zweite Ableitung berechnen
  4. Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen
  5. Intervalle benennen
  6. Ergebnis ermitteln

Verfahren 2

Beim zweiten Verfahren ist es nicht notwendig, die zweite Ableitung zu berechnen.

  1. Erste Ableitung berechnen
  2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen
  3. Intervalle benennen
  4. Monotonietabelle aufstellen
  5. Vorzeichen der Intervalle berechnen
  6. Ergebnis interpretieren

Wann man welches Verfahren einsetzt, wird im letzten Abschnitt dieses Kapitels erklärt.

Verfahren 1 (mit zweiter Ableitung)

Beispiel 1

Zu untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion \(f(x) = x^2\).

1.) Erste Ableitung berechnen

\(f'(x) = 2x\)

2.) Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

\(2x = 0 \qquad \rightarrow \quad x = 0\)

3.) Zweite Ableitung berechnen

\(f''(x) = 2\)

4.) Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen

\(f''(0) = 2 > 0 \quad \rightarrow \text{Tiefpunkt}\)

5.) Intervalle benennen

Die berechnete Nullstelle teilt den relevanten Bereich in zwei Intervalle.

  1. Intervall: \(\left]-\infty;0\right[\)
  2. Intervall: \(\left]0;+\infty\right[\)

6.) Ergebnis ermitteln

Da bei \(x = 0\) ein Tiefpunkt vorliegt, fällt die Funktion von \(-\infty\) bis zu diesem Punkt.

Es gilt: \(\left]-\infty;0\right[: \text{ streng monoton fallend}\)

Rechts vom Tiefpunkt dagegen steigt die Funktion.

Es gilt: \(\left]0;+\infty\right[: \text{ streng monoton steigend}\)

Beispiel 2

Zu untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion \(f(x) = -x^2\).

1.) Erste Ableitung berechnen

\(f'(x) = -2x\)

2.) Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

\(-2x = 0 \qquad \rightarrow \quad x = 0\)

3.) Zweite Ableitung berechnen

\(f''(x) = -2\)

4.) Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen

\(f''(0) = -2 < 0 \quad \rightarrow \text{Hochpunkt}\)

5.) Intervalle benennen

Die berechnete Nullstelle teilt den relevanten Bereich in zwei Intervalle.

  1. Intervall: \(\left]-\infty;0\right[\)
  2. Intervall: \(\left]0;+\infty\right[\)

6.) Ergebnis ermitteln

Da bei \(x = 0\) ein Hochpunkt vorliegt, steigt die Funktion von \(-\infty\) bis zu diesem Punkt.

Es gilt: \(\left]-\infty;0\right[: \text{ streng monoton steigend}\)

Rechts vom Hochpunkt dagegen fällt die Funktion.

Es gilt: \(\left]0;+\infty\right[: \text{ streng monoton fallend}\)

Verfahren 2 (ohne zweite Ableitung)

Beispiel 1

Zu untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion \(f(x) = x^2\).

1.) Erste Ableitung berechnen

\(f'(x) = 2x\)

2.) Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

\(2x = 0 \qquad \rightarrow \quad x = 0\)

3.) Intervalle benennen

Die berechnete Nullstelle teilt den relevanten Bereich in zwei Intervalle.

  1. Intervall: \(\left]-\infty;0\right[\)
  2. Intervall: \(\left]0;+\infty\right[\)

4.) Monotonietabelle aufstellen

In der ersten Zeile der Monotonietabelle stehen die Intervalle.

In der zweiten Zeile der Monotonietabelle notieren wir im 5. Schritt die Vorzeichen der Intervalle.

Das Grundgerüst der Tabelle sieht dementsprechend so aus:

\(\begin{array}{c|cc}
&\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline
f'(x) & &
\end{array}\)

5.) Vorzeichen der Intervalle berechnen

Um das Vorzeichen eines Intervalls zu berechnen, setzen wir eine beliebige Zahl des Intervalls in die erste Ableitung ein.

  • Aus dem Intervall \(\left]-\infty;0\right[\) wählen wir die Zahl "-1":
    \(f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \qquad \rightarrow \text{negatives Vorzeichen}\)

  • Aus dem Intervall \(\left]0;+\infty\right[\) wählen wir die Zahl "1":
    \(f'(1) = 2 \cdot 1 = 2 \qquad \rightarrow \text{positives Vorzeichen}\)

Diese Zwischenergebnisse notieren wir in der Monotonietabelle.

\(\begin{array}{c|cc}
&\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline
f'(x) & - & +\\
\end{array}\)

6.) Ergebnis interpretieren

Besitzt die erste Ableitung der Funktion in einem Intervall ein positives Vorzeichen, so ist verläuft der Graph dort streng monoton steigend.

Besitzt die erste Ableitung der Funktion in einem Intervall ein negatives Vorzeichen, so ist verläuft der Graph dort streng monoton fallend.

\(\begin{array}{c|cc}
&\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline
f'(x) & - & +\\
& \text{s. m. fallend} & \text{s. m. steigend}
\end{array}\)

Damit sind wir am Ziel angekommen:
Wir wissen nun, in welchem Bereich die Funktion steigt bzw. fällt.

Beispiel 2

Zu untersuchen ist das Monotonieverhalten der Funktion \(f(x) = -x^2\).

1.) Erste Ableitung berechnen

\(f'(x) = -2x\)

2.) Nullstellen der ersten Ableitung berechnen

\(-2x = 0 \qquad \rightarrow \quad x = 0\)

3.) Intervalle benennen

Die berechnete Nullstelle teilt den relevanten Bereich in zwei Intervalle.

  1. Intervall: \(\left]-\infty;0\right[\)
  2. Intervall: \(\left]0;+\infty\right[\)

4.) Monotonietabelle aufstellen

In der ersten Zeile der Monotonietabelle stehen die Intervalle.

In der zweiten Zeile der Monotonietabelle notieren wir im 5. Schritt die Vorzeichen der Intervalle.

Das Grundgerüst der Tabelle sieht dementsprechend so aus:

\(\begin{array}{c|cc}
&\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline
f'(x) & &
\end{array}\)

5.) Vorzeichen der Intervalle berechnen

Um das Vorzeichen eines Intervalls zu berechnen, setzen wir eine beliebige Zahl des Intervalls in die erste Ableitung ein.

  • Aus dem Intervall \(\left]-\infty;0\right[\) wählen wir die Zahl "-1":
    \(f'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2 \qquad \rightarrow \text{positives Vorzeichen}\)

  • Aus dem Intervall \(\left]0;+\infty\right[\) wählen wir die Zahl "1":
    \(f'(1) = -2 \cdot 1 = -2 \qquad \rightarrow \text{negatives Vorzeichen}\)

Diese Zwischenergebnisse notieren wir in der Monotonietabelle.

\(\begin{array}{c|cc}
&\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline
f'(x) & + & -\\
\end{array}\)

6.) Ergebnis interpretieren

Besitzt die erste Ableitung der Funktion in einem Intervall ein positives Vorzeichen, so ist verläuft der Graph dort streng monoton steigend.

Besitzt die erste Ableitung der Funktion in einem Intervall ein negatives Vorzeichen, so ist verläuft der Graph dort streng monoton fallend.

\(\begin{array}{c|cc}
&\left]-\infty;0\right[ &\left]0;+\infty\right[\\ \hline
f'(x) & + & -\\
& \text{s. m. steigend} & \text{s. m. fallend}
\end{array}\)

Damit sind wir am Ziel angekommen:
Wir wissen nun, in welchem Bereich die Funktion steigt bzw. fällt.

Sonderbehandlung von Polstellen

In den bisherigen Beispielen haben wir ausschließlich die Nullstellen der ersten Ableitung zur Bestimmung der Intervalle herangezogen. In diesem Zusammenhang spielen neben Nullstellen auch die Polstellen einer Funktion eine Rolle.

Schauen wir uns dazu ein kurzes Beispiel an, das in dem Artikel "Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion" ausführlicher dargestellt wird.

Gegeben ist die Funktion

\[f(x) = \frac{x^2}{x+1}\]

Bei \(x = -1\) besitzt die Funktion eine Polstelle.

Die Nullstellen der ersten Ableitung lauten: \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 0\).

Mit Hilfe dieser Informationen können wir die Intervalle aufstellen:

\(\begin{array}{c|cccc}
&\left]-\infty;-2\right[ &\left]-2;-1\right[ &\left]-1;0\right[ & \left]0;\infty\right[ \\ \hline
f'(x)&&&&\\
\end{array}\)

Fazit
Zur Festlegung der Intervalle müssen wir neben den Nullstellen der 1. Ableitung auch die Polstellen einer Funktion berücksichtigen.

Verfahren 1 oder Verfahren 2?

In diesem Kapitel haben wir zwei Verfahren kennengelernt, um das Monotonieverhalten einer Funktion zu bestimmen. Es stellt sich die Frage, wann man welches Verfahren am besten einsetzt.

Gründe für Verfahren 1 (mit zweiter Ableitung)

Wenn du in einer Aufgabenstellung neben dem Monotonieverhalten auch nach dem Krümmungsverhalten oder nach Wendepunkten gefragt wirst, so verwende dieses Verfahren. Da du die zweite Ableitung ohnehin berechnen musst, kannst du diese auch direkt zur Bestimmung des Monotonieverhaltens einsetzen.

Gründe für Verfahren 2 (ohne zweite Ableitung)

Wenn du die zweite Ableitung im Verlauf einer Aufgabe nicht (!) brauchst, so spar es dir, diese zu berechnen und verwende eine Monotonietabelle zur Bestimmung des Monotonieverhaltens. Bei gebrochenrationalen Funktionen kann es oftmals sehr schreibaufwendig sein, die zweite Ableitung zu berechnen. Es kann sich also lohnen, auf diese zu verzichten, sofern du die zweite Ableitung - wie gesagt - im weiteren Verlauf der Aufgabe nicht benötigst.

Fazit

Lies dir die Aufgabenstellung vollständig durch und überlege, ob du die zweite Ableitung brauchst. Unter Umständen kannst du dir auf diese Weise eine Menge wertvoller Zeit sparen.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!