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Natürliche Zahlen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Menge der natürlichen Zahlen.

Zu den natürlichen Zahlen gehören alle Zahlen,
mit deren Hilfe beliebige Objekte gezählt werden können:

\(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\}\)

Die natürlichen Zahlen werden auch als „nichtnegative ganze Zahlen“ bezeichnet.

Eine Teilmenge der natürlichen Zahlen sind die Primzahlen.

Natürliche Zahlen: Gehört die 0 dazu?

...leider gibt es auf diese Frage keine eindeutige Antwort.

Es ist mathematisch nicht festgelegt, ob die 0 zu den natürlichen Zahlen zählt oder nicht.

Unklarheiten finden wir gar nicht toll. Welch Glück, dass sich das Deutsche Institut für Normung (kurz: DIN) mit dieser Frage beschäftigt hat. Die DIN-Norm 5473 besagt:

Die 0 gehört zu den ganzen Zahlen.

Laut der besagten Norm schreibt man für die natürlichen Zahlen ohne die Null: \(\mathbb{N}^{*}\).
\(\mathbb{N}^{*}\) ist eine abkürzende Schreibweise für \(\mathbb{N}\backslash\{0\}\).

Wir halten fest:

DIN-Norm 5473

Nichtnegative ganze Zahlen: \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots\}\)

Positive ganze Zahlen: \(\mathbb{N}^{*} = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}\)

Wie das im Leben manchmal so ist, gibt es einige, die sich nicht an die geltenden Verordnungen halten. Ja, du hast richtig gehört: Manche Autoren und Lehrer zählen die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen. Dreist, oder? ;) Manchmal gilt also: \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}\). Für die natürlichen Zahlen mit der 0 schreibt man dann meist \(\mathbb{N}_{0}\) (= Abkürzung für \(\mathbb{N} \cup \{0\}\)).

Fazit: Ob die 0 zu den natürlichen Zahlen gehört, legt dein Schulbuch oder dein Lehrer fest. Um Fehler in Prüfungen zu vermeiden, solltest du dich an die bei euch verwendete Definition halten.

Die Zahlenmengen im Überblick

In der Schule und im Studium lernst du u. a. folgende Zahlenmengen kennen:

Natürliche Zahlen \(\mathbb{N}=\{0, 1, 2, 3, \dots\}\)
Ganze Zahlen \(\mathbb{Z}=\{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,\dots\}\)
Rationale Zahlen \(\mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}|m,n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}\)
Irrationale Zahlen \(\mathbb{I} = \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\)
Reelle Zahlen \(\mathbb{R}\)
Komplexe Zahlen \(\mathbb{C}=\{z = a + bi|a,b \in \mathbb{R}, i = \sqrt{-1}\}\)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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