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Normalenform in Koordinatenform

In diesem Kapitel werden wir die Normalenform in Koordinatenform umwandeln.

Gerade: Normalenform in Koordinatenform
(nur im \(\mathbb{R}^2\) möglich!)

Das Umwandeln einer Geraden von der Normalenform in die Koordinatenform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Distributivgesetz anwenden
  2. Ausmultiplizieren

Beispiel

Gegeben ist eine Gerade in Normalenform

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{p}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\right] = 0\)

1.) Distributivgesetz anwenden (> Distributivgesetz)

\(\text{g:} \quad \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{p} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\)

2.) Ausmultiplizieren (> Skalarprodukt)

\(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 - (4 \cdot 2) - (3 \cdot (-1)) = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 - 8 + 3 = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 - 5 = 0\)

Die Koordinatenform der Geraden lautet folglich

\(4x_1 + 3x_2 - 5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 4x_1 + 3x_2 = 5\)

Hinweis

Eine Gerade lässt sich lediglich im \(\mathbb{R}^2\) in Normalenform darstellen,
weil es im \(\mathbb{R}^3\) keinen eindeutigen Normalenvektor gibt!

Ebene: Normalenform in Koordinatenform

Das Umwandeln einer Ebene von der Normalenform in die Koordinatenform läuft so ab:

Vorgehensweise

  1. Distributivgesetz anwenden
  2. Ausmultiplizieren

Beispiel

Gegeben ist eine Ebene in Normalenform

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{p}\right]= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\right] = 0\)

1.) Distributivgesetz anwenden (> Distributivgesetz)

\(\text{E:} \quad \vec{n} \circ \vec{x} - \vec{n} \circ \vec{p}= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\)

2.) Ausmultiplizieren (> Skalarprodukt)

\(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - (4 \cdot 2) - (3 \cdot (-1)) - (2 \cdot 0) = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 8 + 3 - 0 = 0\)

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0\)

Die Koordinatenform der Ebene lautet folglich

\(4x_1 + 3x_2 + 2x_3 - 5 = 0 \qquad \text{oder} \qquad 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 = 5\)

Das Umwandeln der Normalenform in Koordinatenform ist eigentlich gar nicht schwer. Voraussetzung ist jedoch, dass du weißt, wie man das Skalarprodukt berechnet.

Mehr zu diesem Thema...

Geradengleichungen und Ebenengleichungen kann man folgendermaßen umformen:

  Schwierigkeit Zwischenform
Parameterform in Normalenform einfach ---
Normalenform in Koordinatenform einfach ---
Parameterform in Koordinatenform mittel Normalform
Koordinatenform in Parameterform mittel ---
Normalenform in Parameterform schwer Koordinatenform
Koordinatenform in Normalenform einfach ---

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!