Partielle Integration
In diesem Kapitel lernen wir die partielle Integration (Produktintegration) kennen.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Stammfunktion?
- Was ist ein unbestimmtes Integral?
- Integrationsregeln
Einordnung
Um ein Produkt von Funktionen
$$ f(x) = g(x) \cdot h(x) $$
abzuleiten, brauchen wir die Produktregel:
Produktregel
$$ f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x) $$
Was beim Ableiten die Produktregel ist, ist beim Integrieren die partielle Integration:
Partielle Integration
$$ \int \! f'(x) g(x) \, \textrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \textrm{d}x $$
Dabei muss man einen Faktor integrieren
$$ f(x) \quad \underleftarrow{\text{ integrieren }} \quad f'(x) $$
und den anderen Faktor ableiten
$$ g(x) \quad \underrightarrow{\text{ ableiten }} \quad g'(x) $$
Ziel ist es, durch die Ableitung das zu berechnende Integral zu vereinfachen:
$$ \int \! f'(x) {\color{red}g(x)} \, \textrm{d}x \quad \underrightarrow{\text{ Ziel: Vereinfachung }} \quad \int \! f(x) {\color{red}g'(x)} \, \textrm{d}x $$
Es ist nicht von vornherein festgelegt, welcher Faktor für $f(x)$ und welcher für $g(x)$ steht.
Tipp: Bei $g(x)$ handelt es sich um den Faktor, der nach dem Ableiten das Integral vereinfacht!
Anleitung
Vorüberlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral?
1. Faktor integrieren
2. Faktor ableiten
Ergebnisse in Formel einsetzen
zu 1)
- Potenzfunktionen (
$x^n$) und Umkehrfunktionen (z. B.$\ln(x)$,$\arcsin(x)$,…) werden durch Ableiten einfacher - Funktionen wie
$\text{e}^x$,$\sin(x)$usw. werden durch Integrieren nicht komplizierter
Anmerkung
Manchmal hilft zweimaliges partielles Integrieren und Umsortieren.
Beispiele
Berechne $\int \! x \cdot \text{e}^{x} \, \textrm{d}x$.
Vorüberlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral?
- Die Ableitung von
$x$ist$1$. - Die Ableitung von
$\text{e}^{x}$ist$\text{e}^{x}$.
Da die Ableitung des 1. Faktors das zu berechnende Integral vereinfacht, vertauschen wir die Faktoren und berechnen im Folgenden: $\int \! \text{e}^{x} \cdot x \, \textrm{d}x$.
1. Faktor integrieren
$$ f(x) = \text{e}^{x} \quad \underleftarrow{\text{ integrieren }} \quad f'(x) = \text{e}^{x} $$
2. Faktor ableiten
$$ g(x) = x \quad \underrightarrow{\text{ ableiten }} \quad g'(x) = 1 $$
Ergebnisse in die Formel einsetzen
$$ \int \! f'(x) g(x) \, \textrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \textrm{d}x $$
$$ \begin{align*} \int \! \text{e}^{x} \cdot x \, \textrm{d}x &= \text{e}^{x} \cdot x - \int \! \text{e}^{x} \cdot 1 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \text{e}^{x} \cdot x - \int \! \text{e}^{x} \, \textrm{d}x \\[5px] &= \text{e}^{x} \cdot x - \text{e}^{x} + C \\[5px] &= \text{e}^{x} (x - 1) + C \end{align*} $$
Berechne $\int \! x \cdot \cos x \, \textrm{d}x$.
Vorüberlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral?
- Die Ableitung von
$x$ist$1$. - Die Ableitung von
$\cos(x)$ist$-\sin(x)$.
Da die Ableitung des 1. Faktors das zu berechnende Integral vereinfacht, vertauschen wir die Faktoren und berechnen im Folgenden: $\int \! \cos(x) \cdot x \, \textrm{d}x$.
1. Faktor integrieren
$$ f(x) = \sin(x) \quad \underleftarrow{\text{ integrieren }} \quad f'(x) = \cos(x) $$
2. Faktor ableiten
$$ g(x) = x \quad \underrightarrow{\text{ ableiten }} \quad g'(x) = 1 $$
Ergebnisse in die Formel einsetzen
$$ \int \! f'(x) g(x) \, \textrm{d}x = f(x) g(x) - \int \! f(x) g'(x) \, \textrm{d}x $$
$$ \begin{align*} \int \! \cos(x) \cdot x \, \textrm{d}x &= \sin(x) \cdot x - \int \! \sin(x) \cdot 1 \, \textrm{d}x \\[5px] &= \sin(x) \cdot x - \int \! \sin(x) \, \textrm{d}x \\[5px] &= \sin(x) \cdot x - (- \cos(x)) + C \\[5px] &= \sin(x) \cdot x + \cos(x) + C \end{align*} $$
