Potenzen

In diesem Kapitel schauen wir uns Potenzen etwas genauer an.

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise
für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.

\[x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n = x^n\]

Dabei ist \({\color{red}x}\) die Basis und \({\color{maroon}n}\) der Exponent der Potenz \({\color{red}x}^{\color{maroon}n}\) (sprich: x hoch n).
[Manchmal sagt man zur Basis auch Grundzahl und zum Exponenten Hochzahl.]

Beispiele

\[2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4\]

\[3 \cdot 3 = 3^2\]

\[4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\]

Potenzen und ihre Exponenten

Potenzen haben in Abhängigkeit ihres Exponenten eine unterschiedliche Bedeutung.

Dabei gilt es folgende Fälle zu unterscheiden:

  1. Der Exponent ist eine natürliche Zahl, z.B. \(2^3\)
  2. Der Exponent ist eine ganze Zahl, z.B. \(2^{-3}\)
  3. Der Exponent ist eine rationale Zahl, z.B. \(2^{\frac{1}{4}}\)

1. Potenzen mit natürlichem Exponenten

\[x^n = x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n\]

Beispiele

\[2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\]

\[3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243\]

2. Potenzen mit ganzem Exponenten

\[x^{-n} = \frac{1}{x^n}\]

Beispiele

\[2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{8}\]

\[3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{243}\]

3. Potenzen mit rationalem Exponenten

\[x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}\]

Beispiele

\[3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3} = \sqrt{3}\]

\[3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}\]

 

\[x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}\]

Beispiele

\[2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{2^4}\]

\[2^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{2^5}\]

 

\[x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}\]

Beispiele

\[2^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}}\]

\[2^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^5}}\]

Mehr zur Potenzrechnung

Im Zusammenhang mit Potenzen sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Potenzgesetze Alle Potenzgesetze im Überblick!
Potenzen addieren \(ax^n + bx^n = (a+b)x^n\)
Potenzen subtrahieren \(ax^n - bx^n = (a-b)x^n\)
Potenzen multiplizieren
  • gleiche Basis
    \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\)
  • gleicher Exponent
    \(a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n\)
Potenzen dividieren
  • gleiche Basis
    \(x^a : x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\)
  • gleicher Exponent
    \(a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)
Potenzen potenzieren \(\left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b}\)

Bei dem Thema Potenzrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!