Potenzen multiplizieren
In diesem Kapitel schauen wir uns an, wie man Potenzen multipliziert.
Erforderliches Vorwissen
- Was ist eine Potenz?
Voraussetzung
Es muss eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt sein, damit eine Multiplikation möglich ist:
- Gleiche Basis
- Gleicher Exponent
- Gleiche Basis und gleicher Exponent
Anleitung
Gleiche Basis
$$ {\color{green}x}^a \cdot {\color{green}x}^b = {\color{green}x}^{a+b} $$
In Worten: Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
$$ {\color{green}2}^2 \cdot {\color{green}2}^3 = {\color{green}2}^{2+3} = {\color{green}2}^5 $$
$$ {\color{green}2}^2 \cdot {\color{green}2}^3 \cdot {\color{green}2}^6 = {\color{green}2}^{2+3+6} = {\color{green}2}^{11} $$
Gleicher Exponent
$$ a^{\color{green}n} \cdot b^{\color{green}n} = \left(a \cdot b\right)^{\color{green}n} $$
In Worten: Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
$$ 2^{\color{green}4} \cdot 3^{\color{green}4} = \left(2 \cdot 3\right)^{\color{green}4} = 6^{\color{green}4} $$
$$ 4^{\color{green}3} \cdot 5^{\color{green}3} = \left(4 \cdot 5\right)^{\color{green}3} = 20^{\color{green}3} $$
Wenn wir dieses Rechengesetz anwenden, müssen wir nur einmal – anstatt zweimal – potenzieren. In vielen Fällen sparen wir uns so einiges an Schreibarbeit.
Gleiche Basis und gleicher Exponent
$$ {\color{green}a}^{\color{green}n} \cdot {\color{green}a}^{\color{green}n} = \left({\color{green}a} \cdot {\color{green}a}\right)^{\color{green}n} $$
In Worten: Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
$$ {\color{green}2}^{\color{green}4} \cdot {\color{green}2}^{\color{green}4} = \left({\color{green}2} \cdot {\color{green}2}\right)^{\color{green}4} = 4^{\color{green}4} $$
$$ {\color{green}4}^{\color{green}3} \cdot {\color{green}4}^{\color{green}3} = \left({\color{green}4} \cdot {\color{green}4}\right)^{\color{green}3} = 16^{\color{green}3} $$
Wann keine Multiplikation möglich ist
Aus der Voraussetzung für die Multiplikation von Potenzen folgt, dass in dem folgenden Fall kein weiteres Zusammenfassen der Potenzen möglich ist:
