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Potenzen multiplizieren

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Multiplizieren von Potenzen.

Es empfiehlt sich, zunächst den Einführungsartikel zum Thema Potenzen zu lesen.

Was ist eine Potenz? (Wiederholung)

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise
für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.

Konkrete Beispiele

\[2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4\]

\[3 \cdot 3 = 3^2\]

Allgemeines Beispiel

\[x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n = x^n\]

Dabei ist \({\color{red}x}\) die Basis und \({\color{maroon}n}\) der Exponent der Potenz \({\color{red}x}^{\color{maroon}n}\) (sprich: x hoch n).

Voraussetzung für das Multiplizieren von Potenzen

Es muss eine der folgenden Voraussetzungen erfüllt sein, damit eine Multiplikation möglich ist:

  1. gleiche Basis
  2. gleicher Exponent
  3. gleiche Basis und gleicher Exponent

1. Gleiche Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert,
indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.

\[{\color{green}x}^a \cdot {\color{green}x}^b = {\color{green}x}^{a+b}\]

Beispiele

\[{\color{green}2}^2 \cdot {\color{green}2}^3 = {\color{green}2}^{2+3} = {\color{green}2}^5\]

\[{\color{green}2}^2 \cdot {\color{green}2}^3 \cdot {\color{green}2}^6 = {\color{green}2}^{2+3+6} = {\color{green}2}^{11}\]

2. Gleicher Exponent

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert,
indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

\[a^{\color{green}n} \cdot b^{\color{green}n} = \left(a \cdot b\right)^{\color{green}n}\]

Bei Beachtung dieses Rechengesetzes, muss man nur einmal - anstatt zweimal - potenzieren. In vielen Fällen spart man sich so einiges an Schreibarbeit.

Beispiele

\[2^{\color{green}4} \cdot 3^{\color{green}4} = \left(2 \cdot 3\right)^{\color{green}4} = 6^{\color{green}4}\]

\[4^{\color{green}3} \cdot 5^{\color{green}3} = \left(4 \cdot 5\right)^{\color{green}3} = 20^{\color{green}3}\]

3. Gleiche Basis und gleicher Exponent

Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

\[{\color{green}a}^{\color{green}n} \cdot {\color{green}a}^{\color{green}n} = \left({\color{green}a} \cdot {\color{green}a}\right)^{\color{green}n}\]

Beispiele

\[{\color{green}2}^{\color{green}4} \cdot {\color{green}2}^{\color{green}4} = \left({\color{green}2} \cdot {\color{green}2}\right)^{\color{green}4} = 4^{\color{green}4}\]

\[{\color{green}4}^{\color{green}3} \cdot {\color{green}4}^{\color{green}3} = \left({\color{green}4} \cdot {\color{green}4}\right)^{\color{green}3} = 16^{\color{green}3}\]

VORSICHT! Das Multiplizieren von Potenzen ist nicht möglich, wenn weder die Basen noch die Exponenten der an der Multiplikation beteiligten Potenzen übereinstimmen.

Beispiele

\(2^3 \cdot 4^5\)

\(a^n \cdot b^m\)

Mehr zur Potenzrechnung

Im Zusammenhang mit Potenzen sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Potenzgesetze Alle Potenzgesetze im Überblick!
Potenzen addieren \(ax^n + bx^n = (a+b)x^n\)
Potenzen subtrahieren \(ax^n - bx^n = (a-b)x^n\)
Potenzen multiplizieren
  • gleiche Basis
    \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\)
  • gleicher Exponent
    \(a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n\)
Potenzen dividieren
  • gleiche Basis
    \(x^a : x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\)
  • gleicher Exponent
    \(a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)
Potenzen potenzieren \(\left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b}\)

Bei dem Thema Potenzrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!