Potenzgesetze

Um mit Potenzen rechnen zu können, muss man einige Potenzgesetze beherrschen. Im Folgenden findest du deshalb eine Übersicht über alle wesentlichen Potenzgesetze sowie einige grundlegende Erklärungen.

Potenzgesetze - Video

In diesem Mathe Video (14:44 min) werden dir alle Potenzgesetze erläutert.

Was ist eine Potenz? (Wiederholung)

Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise
für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.

Konkrete Beispiele

\[2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4\]

\[3 \cdot 3 = 3^2\]

Allgemeines Beispiel

\[x_1 \cdot x_2 \dots \cdot x_n = x^n\]

Dabei ist \({\color{red}x}\) die Basis und \({\color{maroon}n}\) der Exponent der Potenz \({\color{red}x}^{\color{maroon}n}\) (sprich: x hoch n).

Die Potenzgesetze im Überblick

Im Folgenden sind alle Potenzgesetze (inkl. Beispiele) dargestellt.

Gleiche Basis

 

Multiplikation mit gleicher Basis

Multipliziert man zwei Potenzen mit gleicher Basis miteinander, erhält man das Ergebnis, indem man die Exponenten der Potenzen addiert.

\[x^a \cdot x^b = x^{a+b}\]

\[2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5\]

\[5^2 \cdot 5^3 \cdot 5^6 = 5^{2+3+6} = 5^{11}\]

Division mit gleicher Basis

Dividiert man zwei Potenzen mit gleicher Basis, erhält man das Ergebnis, indem man die Exponenten der Potenzen voneinander subtrahiert.

\[x^a : x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\]

\[\frac{2^4}{2^2} = 2^{4-2} = 2^2\]

\[\frac{5^3}{5^4} = 5^{3-4} = 5^{-1}\]

Potenzen potenzieren

Eine Potenz wird potenziert, indem man die beteiligten Exponenten miteinander multipliziert.

\[\left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b}\]

\[\left(3^2\right)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8\]

\[\left(5^3\right)^3 = 5^{3 \cdot 3} = 5^9\]

Unterschiedliche Basis

 

Multiplikation mit unterschiedlicher Basis

Werden zwei Potenzen mit unterschiedlicher Basis miteinander multipliziert, die jedoch denselben Exponenten besitzen, kann folgendes Potenzgesetz angewandt werden:

\[a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n\]

Auf diese Weise muss man nur noch einmal - anstatt zweimal - potenzieren, was in vielen Fällen einiges an Schreibarbeit spart.

 

\[2^4 \cdot 3^4 = \left(2 \cdot 3\right)^4\]

\[4^3 \cdot 5^3 = \left(4 \cdot 5\right)^3\]

Division mit unterschiedlicher Basis

Dividiert man zwei Potenzen mit unterschiedlicher Basis, die jedoch denselben Exponenten besitzen, kann folgendes Potenzgesetz angewandt werden:

\[a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\]

Auf diese Weise muss man nur noch einmal - anstatt zweimal - potenzieren, was in vielen Fällen einiges an Schreibarbeit spart.

 

\[3^2 : 4^2 = \frac{3^2}{4^2} = \left(\frac{3}{4}\right)^2\]

\[8^5 : 4^5 = \frac{8^5}{4^5} = \left(\frac{8}{4}\right)^5\]

Negative Basis

 

Hat man es mit einer negativen Basis zu tun, sollte man sich folgende Merkregel in Erinnerung rufen

  1. Ist der Exponent gerade,
    verschwindet das negative Vorzeichen.
  2. Ist der Exponent ungerade,
    bleibt das negative Vorzeichen.

Warum ist das so? \(\rightarrow\) "Minus mal Minus ergibt Plus"

Hinweis: Die Klammern dürfen nicht vergessen werden! Auch viele Taschenrechner unterscheiden zwischen der Eingabe ohne Klammern (z. B. \(-2^2 = -4\)) und der Eingabe mit Klammern (z. B. \((-2)^2 = 4\)). Probier es aus!


\[(-2)^2 = 2^2 = 4\]

\[(-2)^3 = -8\]

Besondere Exponenten

 

Exponent = 0

\[x^0 = 1\]

 

\[5^0 = 1\]

\[(-7)^0 = 1\]

Negative Exponenten

\[x^{-n} = \frac{1}{x^n}\]

 

\[2^{-3} = \frac{1}{2^3}\]

\[5^{-7} = \frac{1}{5^7}\]

Brüche als Exponenten

\[x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}\]

 

\[3^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{3} = \sqrt{3}\]

\[3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}\]

\[x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}\]

 

\[2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{2^4}\]

\[2^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{2^5}\]

\[x^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}}\]

 

\[2^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^4}}\]

\[2^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^5}}\]

Im Kapitel Wurzeln erfährst du mehr über "Potenzen mit Brüchen als Exponenten".

Mehr zur Potenzrechnung

Im Zusammenhang mit Potenzen sollte man sich folgende Kenntnisse aneignen:

Potenzgesetze Alle Potenzgesetze im Überblick!
Potenzen addieren \(ax^n + bx^n = (a+b)x^n\)
Potenzen subtrahieren \(ax^n - bx^n = (a-b)x^n\)
Potenzen multiplizieren
  • gleiche Basis
    \(x^a \cdot x^b = x^{a+b}\)
  • gleicher Exponent
    \(a^n \cdot b^n = \left(a \cdot b\right)^n\)
Potenzen dividieren
  • gleiche Basis
    \(x^a : x^b = \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}\)
  • gleicher Exponent
    \(a^n : b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)
Potenzen potenzieren \(\left(x^a\right)^b = x^{a \cdot b}\)

Bei dem Thema Potenzrechnung ist es besonders wichtig, zu jedem Aufgabentypen möglichst viele Übungsaufgaben zu berechnen. Schließlich gilt: "Übung macht den Meister!".

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!