Potenzmenge

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter der Potenzmenge einer Menge versteht.
Dabei werden Grundkenntnisse der Mengenlehre als bekannt vorausgesetzt.

Wiederholung: Teilmenge

Eine Menge \(A\) heißt Teilmenge einer Menge \(B\), wenn jedes Element von \(A\) auch zur Menge \(B\) gehört.

Die Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) ist die Menge aller Teilmengen von \(A\):

\(\mathcal{P}(A) = \{X~|~X \subseteq A\}\)

Übersetzt bedeutet obige Formel:

\(
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\mathcal{P}(A)}_\text{Die Potenzmenge von A}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}=}_\text{ist}~~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}\{}_\text{die Menge aller}~
\underbrace{\vphantom{\big \vert}X}_\text{X}~
\underbrace{\vert}_\text{für die gilt:}~~
\underbrace{\vphantom{\vert}X \subseteq A}_\text{X ist Teilmenge von A}~~
\}
\)

Wenn nach der Potenzmenge einer Menge \(A\) gefragt ist, gilt es folglich, alle Teilmengen von \(A\) zu bestimmen. Zu den Teilmengen von \(A\) gehört stets auch die leere Menge sowie die Menge \(A\) selbst.

Beispiel 1

Bestimme die Potenzmenge der Menge

\(A = \{a,b\}\)

Welche Teilmengen gibt es?

  • Teilmenge 1: \(\{\}\) (die leere Menge)
  • Teilmenge 2: \(\{a\}\)
  • Teilmenge 3: \(\{b\}\)
  • Teilmenge 4: \(\{a,b\}\) (die Menge \(A\) selbst)

Die Potenzmenge der Menge \(A\) ist somit

\(\mathcal{P}(A)= \{\{\},\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\)

Beispiel 2

Bestimme die Potenzmenge der Menge

\(B = \{1,2,3\}\)

Welche Teilmengen gibt es?

  • Teilmenge 1: \(\{\}\) (die leere Menge)
  • Teilmenge 2: \(\{1\}\)
  • Teilmenge 3: \(\{2\}\)
  • Teilmenge 4: \(\{3\}\)
  • Teilmenge 5: \(\{1,2\}\)
  • Teilmenge 6: \(\{1,3\}\)
  • Teilmenge 7: \(\{2,3\}\)
  • Teilmenge 8: \(\{1,2,3\}\) (die Menge \(B\) selbst)

Die Potenzmenge der Menge \(B\) ist somit

\(\mathcal{P}(B)= \{\{\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\)

Mächtigkeit der Potenzmenge

Die Mächtigkeit der Potenzmenge können wir mit Hilfe einer einfachen Formel berechnen. Bevor wir uns jedoch diese Formel genauer ansehen, wiederholen wir, was man allgemein unter der Mächtigkeit einer Menge versteht.

Wiederholung: Mächtigkeit

Unter der Mächtigkeit einer Menge versteht man die Anzahl der Elemente dieser Menge.

Die Mächtigkeit der Potenzmenge berechnet sich folgendermaßen

\(|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}\)

  • \(|\mathcal{P}(A)|\) = Mächtigkeit der Potenzmenge von \(A\)
  • \(|A|\) = Mächtigkeit der Menge \(A\)

Beispiel 1

Bestimme die Mächtigkeit der Potenzmenge der Menge

\(A = \{a,b\}\)

Die Menge \(A\) besitzt die Mächtigkeit 2, weshalb die Potenzmenge eine Mächtigkeit von

\(|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}  = 2^2 = 4\)

hat. Dabei handelt es sich um folgende vier Elemente

\(\mathcal{P}(A)= \{\{\},\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\)

Beispiel 2

Bestimme die Mächtigkeit der Potenzmenge der Menge

\(B = \{1,2,3\}\)

Die Menge \(B\) besitzt die Mächtigkeit 3, weshalb die Potenzmenge eine Mächtigkeit von

\(|\mathcal{P}(B)| = 2^{|B|}  = 2^3 = 8\)

hat. Dabei handelt es sich um folgende acht Elemente

\(\mathcal{P}(B)= \{\{\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}\)

Mehr zum Thema Mengenlehre

Im Zusammenhang mit der Mengenlehre gibt es einige Themen, die in Klausuren immer wieder abgefragt werden. Daher lohnt es sich, die folgenden Kapital nacheinander durchzuarbeiten.

  Symbol Bedeutung
Mengenschreibweise    
     
Leere Menge \(\emptyset\) \(= \text{Menge, die keine Elemente enthält}\)
Mächtigkeit \(|A|\) \(= \text{Anzahl der Elemente von } A\)
     
Potenzmenge \(\mathcal{P}(A)\) \(:= \{X~|~X \subseteq A\}\)
Mengenbeziehungen    
Gleichheit von Mengen \(A = B\) \(:\Leftrightarrow~\forall x~(x \in A \Leftrightarrow x \in B)\)
Teilmenge \(A \subseteq B\) \(:\Leftrightarrow \forall x~(x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Disjunkte Mengen \(A \cap B = \emptyset\) \(= \text{Mengen ohne gemeinsame Elemente}\)
Mengenverknüpfungen    
Vereinigungsmenge \(A \cup B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\vee~ x \in B\}\)
Schnittmenge \(A \cap B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \in B\}\)
Differenzmenge \(A \setminus B\) \(:= \{x~|~x \in A ~\wedge~ x \notin B\}\)
- Komplement \(\bar{A}_B\) \(:= \{x \,|\, x \in B \enspace \wedge \enspace x \notin A\}\)
Symmetrische Differenz \(A \bigtriangleup B\) \(:= \{x~|~(x \in A ~\wedge~ x \notin B) \vee (x \in B ~\wedge~ x \notin A)\}\)
Kartesisches Produkt \(A \times B\) \(:= \{(a,b)~|~a \in A ~\wedge~ b \in B\}\)

Hinweis:
Zur Definition von mathematischen Symbolen wird für gewöhnlich ein Doppelpunkt vor einem Gleichheitszeichen benutzt, dabei wird der links (beim Doppelpunkt) stehende Ausdruck durch den anderen definiert. Das Doppelpunkt-Gleichheitszeichen \(:=\) spricht man "ist definitionsgemäß gleich". Häufig wird der Doppelpunkt einfach weggelassen.

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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