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Primfaktorzerlegung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Primfaktorzerlegung.

Um dieses Thema zu verstehen, solltest du bereits wissen, was Primzahlen sind.

Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl als Produkt aus Primzahlen.

Hintergrund ist, dass sich jede natürliche Zahl (\(n \geq 2\)) in ein Produkt von Primzahlen zerlegen lässt. Die Zerlegung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren (> Kommutativgesetz).
In diesem Fall bezeichnet man die Faktoren des Produkts auch als „Primfaktoren“.

Um eine Primfaktorzerlegung durchzuführen, musst du einige Primzahlen auswendig wissen. Für einfache Beispiele genügt es, wenn du die Primzahlen bis 20 beherrscht:

Primzahlen bis 20

2,     3,     5,     7,    11,    13,    17,    19

Teilbarkeitsregeln

Im Rahmen einer Primfaktorzerlegung gilt es herauszufinden, ob eine Zahl durch eine bestimmte Primzahl teilbar ist. Dafür gibt es bestimmte Regeln, die sog. Teilbarkeitsregeln:

Eine ganze Zahl ist teilbar durch...

  • 2, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist (also 0, 2, 4, 6 oder 8 ist)
  • 3, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist
  • 5, wenn die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (also 0 oder 5 ist)

Es ist also relativ einfach zu erkennen, ob eine Zahl durch 2, 3 oder 5 teilbar ist. Wenn allerdings größere Primzahlen im Spiel sind (siehe Beispiel 5), kommt man um eine schriftliche Division oder den Einsatz des Taschenrechners zur Überprüfung der Teilbarkeit meist nicht mehr herum.

Vorgehensweise

  1. Primfaktor suchen (= Primzahl, die die Zahl teilt)
  2. Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen
  3. Primfaktor der (geteilten) Zahl suchen
  4. (Geteilte) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen
  5. ...
  6. ..

Man macht solange weiter, bis es sich bei der (geteilten) Zahl um eine Primzahl handelt.

Die Suche nach einem geeigneten Primfaktor (Schritt 1) beginnt man am besten bei der kleinsten Primzahl 2. Danach sucht man bei der nächstgrößeren Primzahl weiter.

Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der Primfaktoren.

Primfaktorzerlegung: Beispiele

Beispiel 1

Gesucht ist die Primfaktorzerlegung der Zahl 12.

1.) Primfaktor suchen

Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor bei der kleinsten Primzahl 2.
Wir fragen uns: Ist 12 durch 2 teilbar?

Antwort: Ja.

Begründung: Laut den Teilbarkeitsregeln ist eine ganze Zahl durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.

2.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen

\(12:{\colorbox{yellow}{\(2\)}} = 6\)

Den ersten Primfaktor haben wir gefunden.
Da 6 keine Primzahl ist, sind wir noch nicht fertig.

3.) Primfaktor suchen

Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor wieder bei der kleinsten Primzahl 2.
Ist 6 durch 2 teilbar?

Ja.

4.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen

\(6:{\colorbox{yellow}{\(2\)}} ={\colorbox{orange}{\(3\)}}\)

Da es sich bei 3 um eine Primzahl handelt, sind wir am Ende angekommen.

Ergebnis

Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der Primfaktoren:

\(12 ={\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(3\)}}\)

Beispiel 2

Gesucht ist die Primfaktorzerlegung der Zahl 20.

1.) Primfaktor suchen

Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor bei der kleinsten Primzahl 2.
Ist 20 durch 2 teilbar?

Ja.

2.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen

\(20:{\colorbox{yellow}{\(2\)}} = 10\)

3.) Primfaktor suchen

Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor wieder bei der kleinsten Primzahl 2.
Ist 10 durch 2 teilbar?

Ja.

4.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen

\(10:{\colorbox{yellow}{\(2\)}} ={\colorbox{orange}{\(5\)}}\)

Da es sich bei 5 um eine Primzahl handelt, sind wir am Ende angekommen.

Ergebnis

Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der Primfaktoren:

\(20 ={\colorbox{yellow}{\(2\)}}\cdot{\colorbox{yellow}{\(2\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(5\)}}\)

Beispiel 3

Gesucht ist die Primfaktorzerlegung der Zahl 165.

1.) Primfaktor suchen

Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor bei der kleinsten Primzahl 2.
Ist 165 durch 2 teilbar?

Nein, da die letzte Ziffer (5) nicht durch 2 teilbar ist.

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 165 durch 3 teilbar?

Ja, da die Quersumme (\(1+6+5 = 12\)) durch 3 teilbar ist.

2.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen

\(165:{\colorbox{yellow}{\(3\)}} = 55\)

3.) Primfaktor suchen

Hinweis: Wenn man schon weiß, dass eine Zahl nicht durch 2, 3, 5 usw. teilbar ist, dann geht das auch später nicht mehr - außer man hat was übersehen oder sich verrechnet. Aus diesem Grund können wir uns sparen zu überprüfen, ob 55 durch 2 teilbar ist. Bereits im ersten Schritt wurde ja gezeigt, dass die Zahl nicht durch 2 teilbar ist.

Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor also bei der Primzahl 3.
Ist 55 durch 3 teilbar?

Nein, da die Quersumme (\(5+5=10\)) nicht durch 3 teilbar ist.

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 55 durch 5 teilbar?

Ja, da die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist.

4.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen

\(55:{\colorbox{yellow}{\(5\)}} ={\colorbox{orange}{\(11\)}}\)

Da es sich bei 11 um eine Primzahl handelt, sind wir am Ende angekommen.

Ergebnis

Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der Primfaktoren:

\(165 ={\colorbox{yellow}{\(3\)}}\cdot{\colorbox{yellow}{\(5\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(11\)}}\)

Beispiel 4

Gesucht ist die Primfaktorzerlegung der Zahl 935.

1.) Primfaktor suchen

Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor bei der kleinsten Primzahl 2.
Ist 935 durch 2 teilbar?

Nein, da die letzte Ziffer (5) nicht durch 2 teilbar ist.

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 935 durch 3 teilbar?

Nein, da die Quersumme (\(9+3+5 = 17\)) nicht durch 3 teilbar ist.

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 935 durch 5 teilbar?

Ja, da die letzte Ziffer durch 5 teilbar ist.

2.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen

\(935:{\colorbox{yellow}{\(5\)}} = 187\)

3.) Primfaktor suchen

Hinweis: Wenn man schon weiß, dass eine Zahl nicht durch 2, 3, 5 usw. teilbar ist, dann geht das auch später nicht mehr - außer man hat was übersehen oder sich verrechnet. Aus diesem Grund können wir uns sparen zu überprüfen, ob 187 durch 2 bzw. 3 teilbar ist. Bereits im ersten Schritt wurde ja gezeigt, dass die Zahl nicht durch 2 bzw. 3 teilbar ist.

Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor also bei der Primzahl 5.
Ist 187 durch 5 teilbar?

Nein, da die letzte Ziffer nicht durch 5 teilbar ist.

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 187 durch 7 teilbar?

Nein.

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 187 durch 11 teilbar?

Ja.

4.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen

\(187:{\colorbox{yellow}{\(11\)}} ={\colorbox{orange}{\(17\)}}\)

Da es sich bei 17 um eine Primzahl handelt, sind wir am Ende angekommen.

Ergebnis

Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der Primfaktoren:

\(935 ={\colorbox{yellow}{\(5\)}}\cdot{\colorbox{yellow}{\(11\)}} \cdot{\colorbox{orange}{\(17\)}}\)

Beispiel 5

Gesucht ist die Primfaktorzerlegung der Zahl 323.

1.) Primfaktor suchen

Wir beginnen die Suche nach einem Primfaktor bei der kleinsten Primzahl 2.
Ist 323 durch 2 teilbar?

Nein, da die letzte Ziffer (3) nicht durch 2 teilbar ist.

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 323 durch 3 teilbar?

Nein, da die Quersumme (\(3+2+3 = 8\)) nicht durch 3 teilbar ist.

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 323 durch 5 teilbar?

Nein, da die letzte Ziffer weder 0 noch 5 ist.

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 323 durch 7 teilbar?

Nein.*

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 323 durch 11 teilbar?

Nein.*

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 323 durch 13 teilbar?

Nein.*

Wir setzen die Suche mit der nächstgrößeren Primzahl fort.
Ist 323 durch 17 teilbar?

Ja!*

*Hinweis: Ob eine Zahl durch 2, 3 oder 5 teilbar ist, können wir ganz leicht mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln ermitteln. Bei größeren Primzahlen (in diesem Fall: 7, 11, 13 und 17) müssen wir entweder schriftlich dividieren oder einen Taschenrechner einsetzen. Dabei gilt: Eine Zahl \(a\) ist durch eine andere Zahl \(b\) teilbar, wenn bei der Division \(a:b\) kein Rest bleibt. Anders gesagt: Eine Zahl ist durch eine andere Zahl teilbar, wenn bei der Division eine ganze Zahl herauskommt.

2.) Zahl durch gefundenen Primfaktor teilen

\(323:{\colorbox{yellow}{\(17\)}} ={\colorbox{orange}{\(19\)}}\)

Da es sich bei 19 um eine Primzahl handelt, sind wir am Ende angekommen.

Ergebnis

Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt der Primfaktoren:

\(323 ={\colorbox{yellow}{\(17\)}}\cdot{\colorbox{orange}{\(19\)}}\)

Zusammenfassung

Für eine Primfaktorzerlegung solltest du...

Die Primfaktorzerlegung spielt eine entscheidende Rolle bei der Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) und des größten gemeinsamen Teilers (ggT). In diesem Zusammenhang wird sie auch beim Thema "Brüche kürzen" eingesetzt.

Eigentlich ist die Primfaktorzerlegung nicht schwer. Wichtig ist jedoch, dass du möglichst viele Aufgaben selbständig bearbeitest. Du weißt ja: "Übung macht den Meister!"

Primzahlen, Vielfache und Teiler

Weitere Informationen zu diesem Themebereich findest du in den folgenden Artikeln:

Primzahlen
Teilbarkeitsregeln
Primfaktorzerlegung
Vielfaches
> Vielfachenmenge
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
Teiler
> Teilermenge
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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