Produktzeichen

In diesem Kapitel lernen wir das Produktzeichen kennen.

Das Produktzeichen \(\prod\) dient zur vereinfachten Darstellung von Produkten.
[Das Zeichen \(\prod\) ist das große Pi aus dem griechischen Alphabet.]

\[\prod_{k=1}^{n} a_k = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot \ldots \cdot a_n\]

(gesprochen: Produkt über \(a_k\) von \(k = 1\) bis \(k = n\))

Bestandteile der Produktschreibweise

  • \(k\) heißt Laufvariable oder Laufindex
  • \(1\) heißt Startwert oder untere Grenze
  • \(n\) heißt Endwert oder obere Grenze
  • \(a_k\) ist die Funktion bezüglich der Laufvariable

Bezeichnung der Laufvariablen

Die Laufvariable kann beliebig benannt werden.

\[\prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{i=1}^{n} a_i = \prod_{j=1}^{n} a_j\]

Berechnung des Produkts

Man erhält alle Faktoren des Produkts, indem man in \(a_k\) für die Variable \(k\) zunächst \(1\) (= Startwert), dann \(2\) usw. und schließlich \(n\) (= Endwert) einsetzt.

Anwendung des Produktzeichens

Im Folgenden schauen wir uns anhand von drei Beispielen an, wie man Produkte mit Hilfe des Produktzeichens berechnet.

Beispiel 1

Berechne folgendes Produkt

\[\prod_{k=1}^{5} k^2\]

Wenn wir das Produkt untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(k\)
  • Startwert: \(1\)
  • Endwert: \(5\)
  • Funktion: \(a(k) = k^2\)
  • \(k\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(k = 1\) (Startwert)
    > \(k = 2\)
    > \(k = 3\)
    > \(k = 4\)
    > \(k = 5\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(k) = k^2\)
für alle Werte von \(k\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(k) = k^2\)
1.) Setze \(k = 1\) \(a(1) = 1^2 = 1\)
2.) Setze \(k = 2\) \(a(2) = 2^2 = 4\)
3.) Setze \(k = 3\) \(a(3) = 3^2 = 9\)
4.) Setze \(k = 4\) \(a(4) = 4^2 = 16\)
5.) Setze \(k = 5\) \(a(5) = 5^2 = 25\)

Im zweiten Schritt multiplizieren wir die berechneten Funktionswerte miteinander.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis des gesuchten Produkts.

\[\begin{align*}
\prod_{k={\color{red}1}}^{{\color{red}5}} k^2 &= {\color{red}1}^2 \cdot {\color{maroon}2}^2 \cdot {\color{maroon}3}^2 \cdot {\color{maroon}4}^2 \cdot {\color{red}5}^2\\
&= 1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25\\
&= 14400
\end{align*}\]

Beispiel 2

Berechne folgendes Produkt

\[\prod_{i=5}^{8} 3i\]

Wenn wir das Produkt untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(i\)
  • Startwert: \(5\)
  • Endwert: \(8\)
  • Funktion: \(a(i) = 3i\)
  • \(i\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(i = 5\) (Startwert)
    > \(i = 6\)
    > \(i = 7\)
    > \(i = 8\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(i) = 3i\)
für alle Werte von \(i\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(i) = 3i\)
1.) Setze \(i = 5\) \(a(5) = 3 \cdot 5 = 15\)
2.) Setze \(i = 6\) \(a(6) = 3 \cdot 6 = 18\)
3.) Setze \(i = 7\) \(a(7) = 3 \cdot 7 = 21\)
4.) Setze \(i = 8\) \(a(8) = 3 \cdot 8 = 24\)

Im zweiten Schritt multiplizieren wir die berechneten Funktionswerte miteinander.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis des gesuchten Produkts.

\[\begin{align*}
\prod_{i={\color{red}5}}^{{\color{red}8}} 3i &= (3 \cdot {\color{red}5}) \cdot (3 \cdot {\color{maroon}6}) \cdot (3 \cdot {\color{maroon}7}) \cdot (3 \cdot {\color{red}8})\\
&= 15 \cdot 18 \cdot 21\cdot 24\\
&= 136080
\end{align*}\]

Beispiel 3

Berechne folgendes Produkt

\[\prod_{j=1}^{4} (2j-1)\]

Wenn wir das Produkt untersuchen, stellen wir fest:

  • Laufvariable: \(j\)
  • Startwert: \(1\)
  • Endwert: \(4\)
  • Funktion: \(a(j) = 2j-1\)
  • \(j\) kann folgende Werte annehmen:
    > \(j = 1\) (Startwert)
    > \(j = 2\)
    > \(j = 3\)
    > \(j = 4\) (Endwert)

Im ersten Schritt berechnen wir einzelnen die Funktionswerte der Funktion \(a(j) = 2j-1\)
für alle Werte von \(j\) vom Startwert bis zum Endwert.

  \(a(j) = 3j\)
1.) Setze \(j = 1\) \(a(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1\)
2.) Setze \(j = 2\) \(a(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3\)
3.) Setze \(j = 3\) \(a(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5\)
4.) Setze \(j = 4\) \(a(4) = 2 \cdot 4 - 1 = 7\)

Im zweiten Schritt multiplizieren wir die berechneten Funktionswerte miteinander.
Auf diese Weise erhalten wir das Ergebnis des gesuchten Produkts.

\[\begin{align*}
\prod_{j={\color{red}1}}^{{\color{red}4}} (2j-1) &= (2 \cdot {\color{red}1} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{maroon}2} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{maroon}3} - 1) \cdot (2 \cdot {\color{red}4} - 1)\\
&= 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\\
&= 105
\end{align*}\]

Rechenregeln
im Zusammenhang mit dem Produktzeichen

In der folgenden Übersicht findest du einige wichtige Rechenregeln.

1. Vorziehen konstanter Faktoren

\[\prod_{k=1}^{n} c \cdot a_k = c^n \cdot \prod_{k=1}^{n} a_k\]

2. Aufspalten eines Produkts

\[\prod_{k=1}^{n} a_k = \left(\prod_{k=1}^{m} a_k\right) \left(\prod_{k=m+1}^{n} a_k\right) \quad (1 < m < n)\]

3. Produkt von Produkten

\[\prod_{k=1}^{n} a_k \cdot b_k \cdot c_k \ldots = \left(\prod_{k=1}^{n} a_k\right)\left(\prod_{k=1}^{n} b_k\right)\left(\prod_{k=1}^{n} c_k\right) \ldots\]

4. Umnummerierung

\[\prod_{k=1}^{n} a_k = \prod_{k=m}^{m+n-1} a_{k-m+1}, \quad \prod_{k=m}^{n} a_k = \prod_{k=l}^{n-m+l} a_{k+m-l}\]

5. Vertauschen der Multiplikationsfolge bei Doppelprodukten

\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{k=1}^{m} a_{ik} = \prod_{k=1}^{m}\prod_{i=1}^{n} a_{ik}\]

Besondere Produkte

  Beispiele

Fall: \(m = n\)

Entspricht der Startwert dem Endwert, besteht das Produkt aus einem einzigen Faktor \(a_n\).

\[\prod_{k=n}^{n} a_k = a_n\]

\[\prod_{k=2}^{2} a_k = a_2\]

\[\prod_{k=5}^{5} k = 5\]

\[\prod_{k=7}^{7} 2k = 2 \cdot 7 = 14\]

Fall: \(m > n\)

Ist der Startwert größer als der Endwert, ist das Produkt leer.
Ein leeres Produkt wird als 1 definiert.

\[\prod_{k=m}^{n} a_k = 1\]

Begründung: \(1\) ist das "neutrale Element" der Multiplikation.

\[\prod_{k=2}^{1} a_k = 1\]

\[\prod_{k=4}^{3} 3k = 1\]

\[\prod_{k=6}^{2} 9 = 1\]

Wenn in dem Produkt eine Konstante steht - also ein Wert, der von der Laufvariablen unabhängig ist -, kann das Produkt zu einer einfachen Potenz umgeschrieben werden.

\[\prod_{k=m}^{n} c = c^{n - m + 1}\]

\[\prod_{k=3}^{8} 4 = 4^{8 - 3 + 1} = 4^6\]

\[\prod_{k=8}^{9} 3 = 3^{9 - 8 + 1}= 3^2\]

Die obige Formel lässt sich noch vereinfachen,
wenn der Startwert 1 ist.

\[\prod_{k=1}^{n} c = c^n\]

\[\prod_{k=1}^{5} 6 = 6^5\]

\[\prod_{k=1}^{4} 8 = 8^4\]

Mit dem Produktzeichen haben wir eine Möglichkeit kennengelernt, Produkte vereinfacht darzustellen. Bei größeren Produkten kannst du dir auf diese Weise eine Menge Schreibarbeit sparen. Auch Summen lassen sich vereinfacht darstellen (> Summenzeichen).

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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