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Proportionale Zuordnung

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was eine proportionale Zuordnung ist.
[Alternative Bezeichnung: direkte Proportionalität]

Für das Verständnis dieses Themas ist es erforderlich, dass du die Lektion Zuordnung bereits gelesen hast. Dort werden die notwendigen Grundlagen ausführlich erklärt.

Eine Zuordnung ordnet einem Wert einen anderen Wert eindeutig zu.

Um Zuordnungen zu beschreiben, benutzt man in der Mathematik folgenden Pfeil: \({\fcolorbox{Red}{}{\(\longmapsto\)}}\).

Allgemeines Beispiel

\(x \longmapsto y\)
(sprich: \(x\) wird \(y\) eindeutig zugeordnet)

Dabei bezeichnet man \(x\) als Ausgangswert und \(y\) als zugeordneten Wert.

Beispiel 1

1 kg Äpfel kostet 2 Euro. 2 kg Äpfel kosten 4 Euro... usw.

Der Menge der Äpfel lässt sich ihr Preis eindeutig zuordnen:
\(\text{Menge der Äpfel} \longmapsto \text{ Preis der Äpfel}\)

\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)
\(5 \longmapsto 10\)
...

Beispiel 2

1 Gärtner braucht zum Mähen einer bestimmten Rasenfläche 12 Minuten.
Wenn 2 Gärtner zusammenhelfen, brauchen sie nur 6 Minuten... usw.

Die Anzahl der Gärtner lässt sich der Arbeitszeit eindeutig zuordnen:
\(\text{Anzahl Gärtner} \longmapsto \text{ Arbeitszeit}\)

\(1 \longmapsto 12\)
\(2 \longmapsto 6\)
\(3 \longmapsto 4\)
\(4 \longmapsto 3\)
\(5 \longmapsto 2,4\)
\(6 \longmapsto 2\)
...

Schau dir die beiden Beispiele noch einmal genau an. Kannst du Unterschiede feststellen?

Unterschied 1

  • In Beispiel 1 gilt: Je mehr Äpfel, desto mehr Geld muss man bezahlen.
  • In Beispiel 2 gilt: Je mehr Gärtner, desto weniger Zeit wird benötigt.

Unterschied 2

  • Beispiel 1 besitzt einen Nullpunkt.
    0 Äpfel kosten 0 Euro: \(0 \longmapsto 0\).
  • Beispiel 2 besitzt keinen Nullpunkt.
    Es ist nicht logisch, dass 0 Gärtner 0 Minuten zum Mähen des Rasens benötigen.

Fazit

\(\Rightarrow\) Bei Beispiel 1 handelt es sich um eine proportionale Zuordnung.
\(\Rightarrow\) Bei Beispiel 2 handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung.

Da es in diesem Kapitel um proportionale Zuordnungen geht, betrachten wir Beispiel 1 etwas genauer. Antiproportionale Zuordnungen werden im nächsten Kapitel besprochen.

Eigenschaften einer proportionalen Zuordnung

Gegeben ist die Zuordnung aus Beispiel 1

\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)
\(5 \longmapsto 10\)

Wir erkennen: Wenn sich der linke Wert vergrößert, vergrößert sich auch der rechte Wert. Dabei läuft diese Vergrößerung gleichmäßig ab, d.h. wenn wir den linken Wert verdoppeln, verdoppelt sich auch der rechte Wert; wenn wir den linken Wert verdreifachen, verdreifacht sich auch der rechte Wert... usw.

Beispiel 1 (Fortsetzung 1)

1 kg Äpfel kostet 2 Euro.
\(1 \longmapsto 2\)

Wenn wir das Gewicht der Äpfel verdoppeln, verdoppelt sich auch der Preis.
\({\color{green}{2}} \cdot 1 \longmapsto {\color{green}{2}} \cdot 2\)

Wenn wir das Gewicht der Äpfel verdreifachen, verdreifacht sich auch der Preis.
\({\color{green}{3}} \cdot 1 \longmapsto {\color{green}{3}} \cdot 2\)

Wir können festhalten: Proportionale Zuordnungen beschreiben gleichmäßiges Wachstum.

Daraus lässt sich folgende Eigenschaft ableiten:

Der Quotient aus zugeordnetem Wert (\(y\)) und Ausgangswert (\(x\)) ist immer gleich.

Für eine proportionale Zuordnung \(x \longmapsto y\) gilt also:

\(y : x = \text{konstant}\)

Man sagt: Die Zahlenpaare \(x\) und \(y\) sind quotientengleich.

Ausnahme:
Für den "Nullpunkt" \(0 \longmapsto 0\) ist der Quotient nicht definiert.
Durch Null teilen ist nicht erlaubt!

Der Quotient aus zugeordnetem Wert (\(y\)) und Ausgangswert (\(x\)) heißt Proportionalitätsfaktor.

Für eine proportionale Zuordnung \(x \longmapsto y\) gilt also:

\(y : x = \text{Proportionalitätsfaktor}\)

Beispiel 1 (Fortsetzung 2)

Wenn wir den zugeordneten Wert durch den Ausgangswert teilen,

\(1 \longmapsto 2 \qquad \qquad 2:1 = {\color{green}{2}}\)
\(2 \longmapsto 4 \qquad \qquad 4:2 = {\color{green}{2}}\)
\(3 \longmapsto 6 \qquad \qquad 6:3 = {\color{green}{2}}\)
\(4 \longmapsto 8 \qquad \qquad 8:4 = {\color{green}{2}}\)
\(5 \longmapsto 10 \qquad \quad 10:5 = {\color{green}{2}}\)

stellen wir fest, dass immer derselbe Wert herauskommt.

Diesen Wert (hier: 2) nennt man Proportionalitätsfaktor der Zuordnung.

Wenn man den Proportionalitätsfaktor kennt, lässt sich der zugeordnete Wert (\(y\)) in Abhängigkeit des Ausgangswertes (\(x\)) ausdrücken.

Herleitung:

\(y : x = \text{Proportionalitätsfaktor} \qquad | \cdot x\)

\(y = \text{Proportionalitätsfaktor} \cdot x\)

Man kann \(x \longmapsto y\) folglich umschreiben zu

\({\fcolorbox{Red}{}{\(x \longmapsto k \cdot x\)}}\)
Dabei ist \(k\) der Proportionalitätsfaktor.

Beispiel 1 (Fortsetzung 3)

\(1 \longmapsto {\color{green}{2}} \cdot 1\)
\(2 \longmapsto {\color{green}{2}} \cdot 2\)
\(3 \longmapsto {\color{green}{2}} \cdot 3\)
\(4 \longmapsto {\color{green}{2}} \cdot 4\)
\(5 \longmapsto {\color{green}{2}} \cdot 5\)

Mit diesem Wissen können wir endlich festlegen, wann eine Zuordnung proportional ist.

Eine Zuordnung \(x \longmapsto y\) heißt proportional,
wenn sich jeder \(y\)-Wert durch Multiplikation des \(x\)-Wertes mit derselben Zahl (Proportionalitätsfaktor) ergibt.

Mathematisch formuliert:
\(x \longmapsto k \cdot x\)
Dabei ist \(k\) der Proportionalitätsfaktor.

Darstellung proportionaler Zuordnungen

Im Wesentlichen gibt es vier Möglichkeiten, um eine proportionale Zuordnung darzustellen.

  1. Pfeildiagramm
  2. Zuordnungstabelle (= Wertetabelle)
  3. Koordinatensystem
  4. Mathematische Vorschrift (= Zuordnungsvorschrift)

Zu jeder Darstellung schauen wir uns ein Beispiel an.
Dabei geht es jeweils um folgende Zuordnung:

- 0 kg Äpfel kosten 0 Euro
- 1 kg Äpfel kostet 2 Euro
- 2 kg Äpfel kosten 4 Euro
- 3 kg Äpfel kosten 6 Euro
- 4 kg Äpfel kosten 8 Euro
- 5 kg Äpfel kosten 10 Euro

1. Pfeildiagramm

Das Pfeildiagramm haben wir bereits weiter oben kennengelernt.

\(0 \longmapsto 0\)
\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)
\(5 \longmapsto 10\)

Die Zahl links vom Pfeil ist der Ausgangswert, die rechte Zahl der zugeordnete Wert.

2. Zuordnungstabelle (= Wertetabelle)

Zuordnungstabellen lassen sich sowohl waagrecht als auch senkrecht darstellen. Welche Darstellung du wählst, ist dir überlassen. Orientiere dich am besten an der Darstellung, die dein Lehrer verwendet.

Eine (waagrechte) Zuordnungstabelle hat zwei Reihen. In der oberen Reihe befinden sich die Ausgangswerte und in der unteren Reihe die zugeordneten Werte.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
\text{Ausgangswert} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \hline
\text{zugeordneter Wert} & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\
\end{array}\)

Eine (senkrechte) Zuordnungstabelle hat zwei Spalten. In der linken Spalte befinden sich die Ausgangswerte und in der rechten Spalte die zugeordneten Werte.

\(\begin{array}{l|l|}
\text{Ausgangswert} & \text{zugeordneter Wert} \\ \hline
0 & 0 \\
1 & 2 \\
2 & 4 \\
3 & 6 \\
4 & 8 \\
5 & 10 \\
\end{array}\)

Häufig sagt man zu einer Zuordnungstabelle auch einfach Wertetabelle.

3. Koordinatensystem

Wenn du auf einem karierten Blatt Papier...

...zwei Geraden einzeichnest, die aufeinander senkrecht stehen, erhälst du ein Koordinatensystem. Diese Geraden bezeichnet man dann als Koordinatenachsen. Wichtig ist, dass du die Koordinatenachsen richtig beschriftet (siehe Abbildung).

Die waagrechte Koordinatenachse steht für die Ausgangswerte, die senkrechte Koordinatenachse für die zugeordneten Werte der Zuordnung.

Gegeben ist folgende Zuordnung
\(1 \longmapsto 2\)

Wie können wir diese Zuordnung grapisch darstellen?
Die Zuordnung entspricht einem Punkt im Koordinatensystem. Diesen Punkt erhält man, indem man vom Koordinatenursprung eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben geht.

Die graphische Darstellung der Zuordnung
\(0 \longmapsto 0\)
\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)
\(5 \longmapsto 10\)
aus unserem Beispiel ist in der nebenstehenden Abbildung eingezeichnet.

Wenn wir die Punkte miteinander verbinden, erkennen wir:

Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine steigende Halbgerade durch den Nullpunkt.

4. Mathematische Vorschrift (= Zuordnungsvorschrift)

Mit Hilfe einer mathematischen Vorschrift lässt sich der zweite Wert aus dem ersten Wert berechnen. Diese mathematische Vorschrift bezeichnet man im Fall von Zuordnungen als Zuordnungsvorschrift.

Für proportionale Zuordnungen lautet die Zuordnungsvorschrift:

\(y = \text{Proportionalitätsfaktor} \cdot x\)

oder

\(y = k \cdot x\)

wenn \(k\) für den Proportionalitätsfaktor steht.

Beispiel

Überprüfe, ob die folgende Zuordnung proportional ist.
Gebe ggf. eine Zuordnungsvorschrift an!

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
y & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 \\
\end{array}\)

Um zu überprüfen, ob eine Zuordnung proportional ist, teilt man die Werte der unteren Zeile durch die Werte der oberen Zeile. Kommt dabei jeweils dieselbe Zahl heraus, ist die Zuordnung proportional.

\(\begin{align*}
3:1 &= 3 \\
6:2 &= 3 \\
9:3 &= 3 \\
12:4 &= 3 \\
15:5 &= 3 \\
\end{align*}\)

Da man bei der Division der unteren durch die obere Zeile jeweils denselben Wert erhält, ist die Zuordnung proportional. Das Ergebnis der Divisionen (hier: 3) ist dann der Proportionalitätsfaktor.

Die Zuordnungsvorschrift lautet allgemein:

\(y = \text{Proportionalitätsfaktor} \cdot x\)

oder in diesem Fall

\(y = 3 \cdot x\)

Die Zuordnungsvorschrift \(y = 3 \cdot x\) hilft uns dabei, den \(y\)-Wert zu berechnen, wenn ein \(x\)-Wert gegeben ist.

Gilt beispielsweise \(x = 20\), so berechnet sich \(y\) zu

\(y = 3 \cdot 20 = 60\)

Anderherum funktioniert das natürlich genauso!

Gilt beispielsweise \(y = 90\), so berechnet sich \(x\) zu

\(90 = 3 \cdot x \qquad |:3\)

\(30 = x\) bzw. \(x = 30\)

Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Zuordnungsvorschrift.

Proportional oder antiproportional?

Häufig gilt es, eine proportionale Zuordnung von einer antiproportionalen Zuordnung zu unterscheiden. In der folgenden Übersicht sind einige Unterschiede aufgelistet.

  Proportionale Zuordnung
(Direkte Proportionalität)
Antiproportionale Zuordnung
(Indirekte Proportionalität)
Bedeutung Gleichmäßiges Wachstum Gegenläufiges Wachstum
Merksatz "Je mehr, desto mehr" "Je mehr, desto weniger"

Beispiel

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
x & {\color{green}0} & {\color{green}1} & {\color{green}2} & {\color{green}3} & {\color{green}4} & {\color{green}5} \\ \hline
y & {\color{green}0} & {\color{green}2} & {\color{green}4} & {\color{green}6} & {\color{green}8} & {\color{green}10} \\
\end{array}\)
\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}
x & {\color{green}1} & {\color{green}2} & {\color{green}3} & {\color{green}4} & {\color{green}5} & {\color{green}6} \\ \hline
y & {\color{red}12} & {\color{red}6} & {\color{red}4} & {\color{red}3} & {\color{red}2,4} & {\color{red}2} \\
\end{array}\)

Graph

Steigende Halbgerade
durch den Nullpunkt

Hyperbel, die von oben links nach unten rechts fallend verläuft

Zuordnungs-
vorschrift

\(x \longmapsto k \cdot x\)
\(k\) heißt Proportionalitätsfaktor.

\(x \longmapsto k \cdot \frac{1}{x}\)
\(k\) heißt Antiproportionalitätsfaktor.

Eigenschaft

Die Zahlenpaare \(x\) und \(y\) sind quotientengleich, d.h.
\(y:x = \text{konstant}\)

Die Zahlenpaare \(x\) und \(y\) sind produktgleich, d.h.
\(x \cdot y = \text{konstant}\)

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!