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Proportionalitätsfaktor

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Proportionalitätsfaktor versteht.

Um dieses Thema zu verstehen, solltest du bereits folgende Lektionen gelesen haben:

Weißt du noch, was eine Zuordnung ist?

Eine Zuordnung ordnet einem Wert einen anderen Wert eindeutig zu.

Um Zuordnungen zu beschreiben, benutzt man in der Mathematik folgenden Pfeil: \({\fcolorbox{Red}{}{\(\longmapsto\)}}\).

Allgemein

\(x \longmapsto y\)
(sprich: \(x\) wird \(y\) eindeutig zugeordnet)

Dabei bezeichnet man \(x\) als Ausgangswert und \(y\) als zugeordneten Wert.

Beispiel

1 kg Äpfel kostet 2 Euro. 2 kg Äpfel kosten 4 Euro... usw.

Der Menge der Äpfel lässt sich ihr Preis eindeutig zuordnen:
\(\text{Menge der Äpfel} \longmapsto \text{ Preis der Äpfel}\)

\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)
\(5 \longmapsto 10\)

Zur übersichtlicheren Darstellung verwendet man meist eine Wertetabelle:

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
y & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\
\end{array}\)

Für eine proportionale Zuordnung \(x \longmapsto y\) gilt:

Der Quotient aus zugeordnetem Wert (\(y\)) und Ausgangswert (\(x\)) ist konstant. Diese Konstante nennt man Proportionalitätsfaktor.

\(y : x = \text{Proportionalitätsfaktor}\)

Proportionalitätsfaktor berechnen

Beispiel 1

Überprüfe, ob die folgende Zuordnung proportional ist.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
y & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 \\
\end{array}\)

Um zu überprüfen, ob eine Zuordnung proportional ist, teilt man die Werte der unteren Zeile durch die Werte der oberen Zeile. Kommt dabei jeweils dieselbe Zahl heraus, ist die Zuordnung proportional.

\(\begin{align*}
3:1 &= {\color{green}{3}} \\
6:2 &= {\color{green}{3}} \\
9:3 &= {\color{green}{3}} \\
12:4 &= {\color{green}{3}} \\
15:5 &= {\color{green}{3}} \\
\end{align*}\)

Da man bei der Division der unteren durch die obere Zeile jeweils denselben Wert erhält, ist die Zuordnung proportional.

Das Ergebnis der Divisionen (hier: 3) ist der Proportionalitätsfaktor.

Beispiel 2

Überprüfe, ob die folgende Zuordnung proportional ist.

\(\begin{array}{r|r|r|r}
x & 1 & 5 & 10 \\ \hline
y & 5 & 25 & 50 \\
\end{array}\)

Wir teilen wieder die zugeordnete Wert \(y\) durch die Ausgangswerte \(x\)

\(\begin{align*}
5:1 &= {\color{green}{5}} \\
25:5 &= {\color{green}{5}} \\
50:10 &= {\color{green}{5}} \\
\end{align*}\)

und stellen fest, dass jeweils derselbe Wert herauskommt.

Das Ergebnis der Divisionen (hier: 5) ist der Proportionalitätsfaktor.

In diesem Artikel haben wir uns mit dem Proportionalitätsfaktor beschäftigt. Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Proportionale Zuordnung. Weiterhin viel Spaß beim Lernen!

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!