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Proportionalitätsfaktor

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter dem Proportionalitätsfaktor versteht.

Um dieses Thema zu verstehen, solltest du bereits folgende Lektionen gelesen haben:

Weißt du noch, was eine Zuordnung ist?

Eine Zuordnung ordnet einem Wert einen anderen Wert eindeutig zu.

Um Zuordnungen zu beschreiben, benutzt man in der Mathematik folgenden Pfeil: \({\fcolorbox{Red}{}{\(\longmapsto\)}}\).

Allgemein

\(x \longmapsto y\)
(sprich: \(x\) wird \(y\) eindeutig zugeordnet)

Dabei bezeichnet man \(x\) als Ausgangswert und \(y\) als zugeordneten Wert.

Beispiel

1 kg Äpfel kostet 2 Euro. 2 kg Äpfel kosten 4 Euro... usw.

Der Menge der Äpfel lässt sich ihr Preis eindeutig zuordnen:
\(\text{Menge der Äpfel} \longmapsto \text{ Preis der Äpfel}\)

\(1 \longmapsto 2\)
\(2 \longmapsto 4\)
\(3 \longmapsto 6\)
\(4 \longmapsto 8\)
\(5 \longmapsto 10\)

Zur übersichtlicheren Darstellung verwendet man meist eine Wertetabelle:

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
y & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\
\end{array}\)

Für eine proportionale Zuordnung \(x \longmapsto y\) gilt:

Der Quotient aus zugeordnetem Wert (\(y\)) und Ausgangswert (\(x\)) ist konstant. Diese Konstante nennt man Proportionalitätsfaktor.

\(y : x = \text{Proportionalitätsfaktor}\)

Proportionalitätsfaktor berechnen

Beispiel 1

Überprüfe, ob die folgende Zuordnung proportional ist.

\(\begin{array}{r|r|r|r|r|r}
x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
y & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 \\
\end{array}\)

Um zu überprüfen, ob eine Zuordnung proportional ist, teilt man die Werte der unteren Zeile durch die Werte der oberen Zeile. Kommt dabei jeweils dieselbe Zahl heraus, ist die Zuordnung proportional.

\(\begin{align*}
3:1 &= {\color{green}{3}} \\
6:2 &= {\color{green}{3}} \\
9:3 &= {\color{green}{3}} \\
12:4 &= {\color{green}{3}} \\
15:5 &= {\color{green}{3}} \\
\end{align*}\)

Da man bei der Division der unteren durch die obere Zeile jeweils denselben Wert erhält, ist die Zuordnung proportional.

Das Ergebnis der Divisionen (hier: 3) ist der Proportionalitätsfaktor.

Beispiel 2

Überprüfe, ob die folgende Zuordnung proportional ist.

\(\begin{array}{r|r|r|r}
x & 1 & 5 & 10 \\ \hline
y & 5 & 25 & 50 \\
\end{array}\)

Wir teilen wieder die zugeordnete Wert \(y\) durch die Ausgangswerte \(x\)

\(\begin{align*}
5:1 &= {\color{green}{5}} \\
25:5 &= {\color{green}{5}} \\
50:10 &= {\color{green}{5}} \\
\end{align*}\)

und stellen fest, dass jeweils derselbe Wert herauskommt.

Das Ergebnis der Divisionen (hier: 5) ist der Proportionalitätsfaktor.

In diesem Artikel haben wir uns mit dem Proportionalitätsfaktor beschäftigt. Mehr zu diesem Thema erfährst du im Kapitel Proportionale Zuordnung. Weiterhin viel Spaß beim Lernen!

Autor: Andreas Schneider
Seit 2010 beschäftigt er sich mit dem Thema "Mathematik online lernen". Die Lernvideos auf seinem YouTube-Kanal NachhilfeTV wurden bereits über 2 Millionen Mal aufgerufen.
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