Prozent

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was man unter Prozent versteht.

Der Begriff „Prozent“ kommt aus dem Lateinischen (pro centum) und heißt wörtlich übersetzt „von Hundert” oder etwas freier: „Hundertstel“. In der Prozentrechnung geht es also um das Rechnen mit Hundertsteln - aber wie schreibt man das korrekt auf?

Das Symbol \(\%\) (Prozent) ist eine abkürzende Schreibweise
für einen Bruch mit dem Nenner 100.

\[p\, \% = \frac{p}{100}\]

Beispiel

„\(\frac{16}{100}\) der Bevölkerung Deutschlands sind unter 18 Jahre alt.“
„\(16\, \%\) der Bevölkerung Deutschlands sind unter 18 Jahre alt.“

\(p\, \%\) bezeichnet man als Prozentsatz. \(p\) heißt Prozentzahl.

Beispiel

Prozentsatz: \(16\, \%\) \(\Rightarrow\) Prozentzahl: \(16\)

Praktische Bedeutung

Prozentangaben werden verwendet, um Anteile an einem Ganzen anzugeben.

Beispiel

„70 % der Schüler an meiner Schule sind männlich.“
\(\Rightarrow\) Wir vergleichen hier die Zahl der männlichen Schüler mit der gesamten Schülerzahl.

Prozentangaben werden auch verwendet, um Zunahmen und Abnahmen anzugeben.

Beispiel

„Die Schülerzahl an meiner Schule ist um 20 % gestiegen.“
\(\Rightarrow\) Wir vergleichen hier die alte Schülerzahl mit der neuen Schülerzahl.

Zusammenfassend gilt, dass Prozentangaben immer Vergleiche zwischen zwei Zahlen sind.

Warum sich Prozente für Vergleiche eignen

Vergleiche sind oft nur dann möglich, wenn man sich auf dieselbe Vergleichszahl bezieht,
d. h. als Brüche mit gleichem Nenner schreibt (> Brüche gleichnamig machen).

Beispiel

A: „In meiner Klasse haben in der letzten Prüfung \(\frac{2}{5}\) der Schüler eine 3 geschrieben.“
B: „Wirklich? In meiner Klasse waren es \(\frac{7}{20}\).“

Es lässt sich nicht sofort erkennen, ob \(\frac{2}{5}\) oder \(\frac{7}{20}\) größer ist.
Wenn wir die Brüche allerdings auf denselben Nenner bringen, erkennen wir, dass gilt:

\[\frac{8}{20} > \frac{7}{20} \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{5} > \frac{7}{20}\]

Ist der Nenner 100, so spricht man von Prozent (\(\%\)).

Beispiel

\[\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 40\, \% \]

\[\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 35\, \% \]

Prozentangaben sollen Größenverhältnisse veranschaulichen und vergleichbar machen, indem die Größen zu einem einheitlichen Grundwert (Hundert) ins Verhältnis gesetzt werden.

Prozent umrechnen

a) Prozent in Bruch

Zuerst schreiben wir einen Bruch mit Nenner 100 auf.
Danach schreiben wir in den Zähler die Prozentzahl.
(Prozentzahl = Prozentsatz ohne Prozentzeichen)

Beispiele

\(1\, \% = \frac{1}{100}\)

\(25\, \% = \frac{25}{100} = \frac{3}{4}\)

\(50\, \% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}\)

\(100\, \% = \frac{100}{100} = 1\)

Wie die Beispiele schön gezeigt haben, kann man den Bruch oft noch kürzen.

b) Prozent in Dezimalzahl

Komma zwei Stellen nach links verschieben und Prozentzeichen weglassen

Beispiele

\(1\, \% =1,0\, \% = 0,01\)

\(25\, \% = 25,0\, \% = 0,25\)

\(50\, \% = 50,0\, \% = 0,5\)

\(100\, \% = 100,0\, \% = 1\)

c) Prozent in Promille

Um Prozente (Nenner 100) in Promille (Nenner 1000) umzurechnen,
müssen wir den gegebenen Prozentsatz mit 10 multiplizieren.

Beispiele

\(0,1\, \% = \frac{0,1}{100} \cdot \frac{{\color{red}10}}{{\color{red}10}} = \frac{1}{1000} = 1\)

\(1\, \% = \frac{1}{100} \cdot \frac{{\color{red}10}}{{\color{red}10}} = \frac{10}{1000} = 10\)

\(50\, \% = \frac{50}{100} \cdot \frac{{\color{red}10}}{{\color{red}10}} = \frac{500}{1000} = 500\)

\(100\, \% = \frac{100}{100} \cdot \frac{{\color{red}10}}{{\color{red}10}}= \frac{1000}{1000}  = 1000\)

Prozentrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du mehr zu diesem Thema:

Prozentrechnung  
> Prozentwert \[W = \frac{p}{100} \cdot G\]
> Prozentsatz \[p\, \% = \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\]
>> Prozent  
>> Promille  
> Grundwert \[G = W \cdot \frac{100}{p}\]
Prozentuale Veränderung \(\text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\)
> Prozentuale Zunahme \(G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = G_{neu+}\)
> Prozentuale Abnahme \(G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = G_{neu-}\)
> Prozentfaktor \(q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)
> Prozentpunkte = Maß für die absolute Änderung von Prozentsätzen

Zu den Anwendungen der Prozentrechnung gehören Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!