Prozentfaktor

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was ein Prozentfaktor ist.

Beispiel 1

Papa wog vor dem Urlaub 80 kg, hat dann aber 5 % zugenommen.
Wie viel wiegt Papa jetzt?

\(80\text{ kg} + 5\, \% \cdot 80\text{ kg} = 80\text{ kg} + 4\text{ kg} = 84\text{ kg}\)

Beispiel 2

Mama wog vor dem Urlaub 65 kg, hat dann aber 8 % abgenommen.
Wie viel wiegt Mama jetzt?

\(65\text{ kg} - 8\, \% \cdot 65\text{ kg} = 65\text{ kg} - 5,2\text{ kg} = 59,8\text{ kg}\)

Eine prozentuale Veränderung ist die Veränderung einer Größe innerhalb eines bestimmten Zeitraums, ausgedrückt in Prozent.

\[ \text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\]

Beispiel 1 (Fortsetzung)

\(80\text{ kg} + 5\, \% \cdot 80\text{ kg}\) vereinfachen wir durch Ausklammern zu \(80\text{ kg} \cdot (100\, \% + 5\, \%)\).
Dabei bezeichnet man \((100\, \% + 5\, \%)\) als Prozentfaktor.

Beispiel 2 (Fortsetzung)

\(65\text{ kg} - 8\, \% \cdot 65\text{ kg}\) vereinfachen wir durch Ausklammern zu \(65\text{ kg} \cdot (100\, \% - 8\, \%)\).
Dabei bezeichnet man \((100\, \% - 8\, \%)\) als Prozentfaktor.

\[ \text{Anfangswert} \cdot \text{Prozentfaktor} = \text{Endwert}\]

Prozentfaktor in Prozentschreibweise: \(\left(100\, \% \pm p\, \%\right)\)
Prozentfaktor in Dezimalschreibweise: \(\left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)

Bei einer Zunahme ist der Prozentfaktor größer als 1 („Wachstumsfaktor“).

Beispiel 1 (Fortsetzung)

\(q = (100\, \% + 5\, \%) = 105\, \% = 1,05\)

Bei einer Abnahme ist der Prozentfaktor kleiner als 1 („Abnahmefaktor“).

Beispiel 2 (Fortsetzung)

\(q = (100\, \% - 8\, \%) = 92\, \% = 0,92\)

Prozentfaktor und Prozentsatz

Der Prozentsatz gibt an, um wie viel Prozent sich ein Anfangswert verändert hat.

Beispiel

Eine Preiserhöhung von 50 € auf 60 € entspricht einer Steigerung um 20 %.
\(\Rightarrow\) Prozentsatz = 20 % = 0,2

Der Prozentfaktor gibt an, auf wie viel Prozent sich ein Anfangswert verändert hat.

Beispiel

Eine Preiserhöhung von 50 € auf 60 € entspricht einer Steigerung auf 120 %.
\(\Rightarrow\) Prozentfaktor = 120 % = 1,2

a) Prozentfaktor berechnen (aus Prozentsatz)

Wenn der Prozentsatz \(p\, \%\) gegeben ist, berechnet sich der Prozentfaktor \(q\) zu

Zunahme Abnahme
\(q = \left(1 + \frac{p}{100}\right)\) \(q = \left(1 - \frac{p}{100}\right)\)

Beispiel 1

Erhöhung um 30 %: \(p\, \% = 30\, \% \quad \Rightarrow \quad q = \left(1 + \frac{30}{100}\right) = 1 + 0,3 = 1,3\)

Beispiel 2

Senkung um 20 %: \(p\, \% = 20\, \% \, \, \quad \Rightarrow \quad q = \left(1 - \frac{20}{100}\right) = 1 - 0,2 = 0,8\)

b) Prozentsatz berechnen (aus Prozentfaktor)

Wenn der Prozentfaktor \(q\) gegeben ist, berechnet sich der Prozentsatz \(p\, \%\) zu

Prozentfaktor > 1
Prozentfaktor < 1
\(p\, \% = q - 1\) \(p\, \% = 1 - q\)

Beispiel 1

Erhöhung auf 160 %: \(q = 1,6 \quad \Rightarrow \quad p\, \% = 1,6 - 1 = 0,6 = 60\, \%\)

Beispiel 2

Senkung auf 30 %: \(q = 0,3 \, \, \quad \Rightarrow \quad p\, \% = 1 - 0,3 = 0,7 = 70\, \%\)

Prozentrechnung von A bis Z

In den folgenden Kapiteln erfährst du mehr zu diesem Thema:

Prozentrechnung  
> Prozentwert \[W = \frac{p}{100} \cdot G\]
> Prozentsatz \[p\, \% = \frac{W}{G} \cdot 100\, \%\]
>> Prozent  
>> Promille  
> Grundwert \[G = W \cdot \frac{100}{p}\]
Prozentuale Veränderung \(\text{Anfangswert} \pm \text{prozentuale Veränderung} = \text{Endwert}\)
> Prozentuale Zunahme \(G \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = G_{neu+}\)
> Prozentuale Abnahme \(G \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = G_{neu-}\)
> Prozentfaktor \(q = \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)\)
> Prozentpunkte = Maß für die absolute Änderung von Prozentsätzen

Zu den Anwendungen der Prozentrechnung gehören Zinsrechnung und Zinseszinsrechnung.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!