Punkt

In diesem Kapitel schauen wir uns an, was Mathematiker unter einem Punkt verstehen.

Punkte im Alltag

Ist dir eigentlich bewusst, dass ohne Punkte gar nichts läuft? Hier einige Beispiele:

  • Dein Lieblingsfußballverein bekommt drei Punkte für den Sieg eines Ligaspiels.
  • Autofahrer bekommen einen Punkt im Verkehrszentralregister in Flensburg, wenn sie durch ihr Verhalten im Straßenverkehr die Sicherheit ihrer Mitbürger gefährden.
  • Im Deutschunterricht haben wir den Punkt als Satzzeichen kennengelernt. Schon Grundschüler wissen, dass Aussagesätze mit einem Punkt beendet werden.

So geläufig uns die obigen Bedeutungen auch sind, mit Mathematik hat das alles nichts zu tun. Es gibt jedoch ein Wort aus unserer Alltagssprache, dass der mathematischen Bedeutung eines Punktes ziemlich nahe kommt. Gemeint ist der „Treffpunkt“, also eine bestimmte Position.

David: „Bis später, Anna! Wir sehen uns dann um 18 Uhr vor Kinosaal 5.“
Anna: „Hatten wir nicht als Treffpunkt den Eingangsbereich des Kinos vereinbart?“

Das Beispiel zeigt, wie wichtig es ist, für Treffpunkte möglichst exakte Positionen auszumachen.

Punkte in der Mathematik

Mathematiker sind für ihre Exaktheit bekannt. Es verwundert nicht, dass sie ein geometrisches Gebilde definiert haben, dessen einzige Aufgabe es ist, eine exakte Position wiederzugeben.

Ein Punkt repräsentiert eine exakte Position.

Wenn dir noch nicht ganz klar ist, was ein Punkt ist, dann schnapp dir ein beliebiges Blatt Papier.

Zuerst falten wir das Papier von der linken oberen auf die rechte untere Ecke. Wenn du das Papier wieder aufklappst, solltest du deutlich eine Faltlinie sehen.

In der Abbildung ist die Faltlinie durch eine gerade blaue Linie dargestellt.

Jetzt falten wir das Papier von der rechten oberen auf die linke untere Ecke. Wenn du das Papier aufklappt, siehst du zwei gerade Linien, die sich in einem Punkt - also einer exakten Position auf dem Papier - schneiden.

In der Abbildung ist der Schnittpunkt durch einen kleinen roten Kreis hervorgehoben.

Mathematiker haben Spaß am Falten. Zumindest lässt das folgende Definition vermuten:

Ein Punkt ist die Schnittstelle zweier gerader Linien.

In einer Abbildung sind oft mehrere Positionen von Interesse. Um diese voneinander unterscheiden zu können, geben wir jedem Punkt einen eigenen Namen.

Punkte werden gewöhnlich mit lateinischen Großbuchstaben (\(A\), \(B\), \(C\)...) bezeichnet und durch kleine Kreise bildlich dargestellt.

Nach Betrachtung der obigen Abbildung könnte der Laie zu dem Schluss kommen, dass ein Punkt nichts anderes ist als ein kleiner Kreis. Das ist jedoch falsch! Ein Punkt hat nämlich im Gegensatz zu einem Kreis keine Größe. Mathematiker würden das so formulieren: Ein Kreis ist ein zweidimensionales geometrisches Gebilde, also ein Objekt mit zwei Ausdehnungen - einer Länge und einer Breite. Ein Punkt hingegen ist dimensionslos, d. h. er hat keine Ausdehnung.

Ein Punkt hat keine Ausdehnung (Dimension).

Wir merken uns, dass ein mathematischer Punkt lediglich eine gedachte Positionsangabe ist und deshalb über keine Länge, Breite oder Höhe verfügt. Genau genommen könnte ein Punkt nicht gezeichnet werden. Die Darstellung als kleiner Kreis ist lediglich ein Hilfskonstrukt.

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass Punkte auch durch andere Symbole dargestellt werden können. Bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal wird ein Punkt oft durch ein Kreuzchen veranschaulicht.

Ich weiß nicht, ob du es schon wusstest, aber Mathematiker lieben Zahlen. Es stellt sich deshalb die Frage, ob Punkte nicht nur bildlich, sondern auch zahlenmäßig dargestellt werden können. Die Antwort ist natürlich ja. Dazu brauchen wir eigentlich nur ein Koordinatensystem - eine Art Gitternetz wie du es vom Schachbrett oder dem Spiel „Schiffe versenken“ her kennst. Im Kapitel Kartesisches Koordinatensystem erfährst du mehr zu diesem spannenden Thema.

Andreas Schneider

Jeden Tag suche ich für dich nach der verständlichsten Erklärung.

Ich hoffe, dass sich meine Arbeit lohnt und ich dir helfen kann.

Weiterhin viel Erfolg beim Lernen!

Dein Andreas

PS: Ich freue mich, wenn du mir mal schreibst!